Даны две коробки, имеющие форму правильной четырёхугольной призмы, стоящей на основании. Первая коробка в 4,5 раза выше второй, а вторая в 1,5 раза шире первой. Во сколько раз объём первой коробки...

Задача №09018: Прикладная стереометрия

Коробка имеет форму правильной четырёхугольной призмы, в основании которой лежит квадрат. Объём такой призмы вычисляется по формуле:

V = S_{осн} \cdot h = a^{2} \cdot h

где $a$ — сторона основания (ширина коробки), $h$ — высота коробки.

Пусть $a_{1}$ и $h_{1}$ — ширина и высота первой коробки, а $a_{2}$ и $h_{2}$ — ширина и высота второй коробки. Из условия задачи известно:

1. Первая коробка в $4, 5$ раза выше второй: $h_{1} = 4, 5 h_{2} .$
2. Вторая коробка в $1, 5$ раза шире первой: $a_{2} = 1, 5 a_{1} .$

Запишем формулы объёмов для обеих коробок:

V_{1} = a_{1}^{2} \cdot h_{1}

V_{2} = a_{2}^{2} \cdot h_{2}

Найдём отношение объёма первой коробки к объёму второй:

\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{a _{1}^{2} \cdot h _{1}}{a _{2}^{2} \cdot h _{2}}

Подставим выражения $h_{1} = 4, 5 h_{2}$ и $a_{2} = 1, 5 a_{1}$ в это отношение:

\frac{V _{1}}{V _{2}} = \frac{a _{1}^{2} \cdot 4 , 5 h _{2}}{( 1 , 5 a _{1} ) ^{2} \cdot h _{2}} = \frac{4 , 5 \cdot a _{1}^{2} \cdot h _{2}}{2 , 25 \cdot a _{1}^{2} \cdot h _{2}} = \frac{4 , 5}{2 , 25} = 2

Следовательно, объём первой коробки больше объёма второй в $2$ раза.

Ответ: 2