Задача №08892

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 2, 3 и 18. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Пусть вертикальный разрез делит ширину большого прямоугольника на левую часть $a$ и правую часть $b\text{,}$ а горизонтальный разрез делит высоту на верхнюю часть $c$ и нижнюю часть $d\text{.}$

Тогда стороны и периметры четырёх прямоугольников таковы:

• левый верхний: $a\times c\text{,}$ периметр $2(a+c)\text{;}$
• правый верхний: $b\times c\text{,}$ периметр $2(b+c)\text{;}$
• правый нижний: $b\times d\text{,}$ периметр $2(b+d)\text{;}$
• левый нижний: $a\times d\text{,}$ периметр $2(a+d)\text{.}$

Сложим периметры двух прямоугольников, расположенных по диагонали друг от друга:

Обе суммы равны $2(a+b+c+d)\text{,}$ значит они равны между собой:

По условию (по часовой стрелке начиная с левого верхнего): левый верхний имеет периметр $2\text{,}$ правый верхний — $3\text{,}$ правый нижний — $18\text{.}$ Искомый четвёртый прямоугольник — левый нижний.

Левый верхний и правый нижний — диагональная пара, правый верхний и левый нижний — другая диагональная пара. Следовательно:

где $P$ — периметр левого нижнего прямоугольника. Отсюда:

Ответ: 17.