Задача №14315

Улитка за день заползает вверх по дереву на $2$ м, а за ночь сползает на $1$ м. Высота дерева $9$ м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?

Рассмотрим движение улитки по дням.

После каждой ночи высота улитки увеличивается на $1$ м по сравнению с предыдущим утром, так как за сутки (день и ночь) чистое продвижение составляет:

Пусть после $k$ полных суток (то есть после $k$ дней и $k$ ночей) улитка находится на высоте $h_k=k$ м (начальная высота $h_0=0$ м).

На начало дня $n$ (после $n-1$ суток) высота равна $h_{n-1}=n-1$ м.

В день $n$ улитка поднимается на $2$ м, поэтому высота становится:

Чтобы улитка достигла вершины дерева высотой $9$ м, необходимо, чтобы $n+1⩾9\text{,}$ откуда $n⩾8\text{.}$

При $n=8\text{:}$

1. На начало дня высота $7$ м.
2. После подъёма: $7+2=9$ м — улитка достигает вершины.

Ответ: 8