Задача №14287

Маша и Медведь съели 102 печенья и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Пусть скорость поедания печенья Машей $v$ печений в минуту, тогда у Медведя $4v$ печений в минуту.

Скорость поедания варенья: у Маши $w$ банок в минуту, у Медведя $4w$ банок в минуту.

Они съели варенья поровну, значит, каждый съел $\frac{1}{2}$ банки.

Пусть Маша ела варенье $t_1$ минут, а потом печенье $t_2$ минут. Медведь наоборот: сначала печенье $t_1$ минут, потом варенье $t_2$ минут.

Тогда для варенья:

Маша: $w\cdot t_1=\frac{1}{2}$

Медведь: $4w\cdot t_2=\frac{1}{2}$

Из этих уравнений: $t_1=\frac{1}{2w}\text{,}$ $t_2=\frac{1}{8w}\text{.}$

Общее время: $T=t_1+t_2=\frac{1}{2w}+\frac{1}{8w}=\frac{4+1}{8w}=\frac{5}{8w}\text{.}$

Печенье:

Маша съела: $v\cdot t_2=v\cdot \frac{1}{8w}$

Медведь съел: $4v\cdot t_1=4v\cdot \frac{1}{2w}=\frac{4v}{2w}=\frac{2v}{w}$

Всего печенья: $\frac{v}{8w}+\frac{2v}{w}=\frac{v}{8w}+\frac{16v}{8w}=\frac{17v}{8w}=102$

Отсюда $\frac{v}{w}=\frac{102\cdot 8}{17}=\frac{816}{17}=48\text{.}$

Печенье, съеденное Медведем: $\frac{2v}{w}=2\cdot 48=96\text{.}$

Ответ: 96