Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть x — число правильных ответов, y — число неправильных, z — число без ответа. Всего вопросов: x + y + z = 36 . Очки: 5x - 11y = 75 . Известно, что y 1 . Выразим x из уравнения очков: 5x = 75 + 11y=> x = (75 + 11y)/(5) = 15 + (11y)/(5). Так как x целое, 11y должно делиться на 5, значит y кратно 5. Пусть y = 5t , тогда x = 15 + 11t . Подставим в уравнение для общего числа вопросов: (15 + 11t) + 5t + z = 36=> 15 + 16t + z = 36=> z = 21 - 16t. Так как z 0 и y 1 (что означает t 1 ), имеем t 1 . При t = 1 : y = 5, x = 15 + 11 = 26, z = 21 - 16 = 5 (неотрицательно). При t = 2 : x = 15 + 22 = 37, но тогда x > 36, невозможно. Значит, x = 26 . Ответ: 26

\(26\)