Задача №14262

Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Пусть $x$ — число правильных ответов, $y$ — число неправильных, $z$ — число без ответа.

Всего вопросов: $x+y+z=36\text{.}$

Очки: $5x-11y=75\text{.}$

Известно, что $y⩾1\text{.}$

Выразим $x$ из уравнения очков:

Так как $x$ целое, $11y$ должно делиться на 5, значит $y$ кратно 5.

Пусть $y=5t\text{,}$ тогда $x=15+11t\text{.}$

Подставим в уравнение для общего числа вопросов:

Так как $z⩾0$ и $y⩾1$ (что означает $t⩾1$), имеем $t⩾1\text{.}$

При $t=1\text{:}$

При $t=2\text{:}$

Значит, $x=26\text{.}$

Ответ: 26