Задача №14232

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

• за 5 золотых монет получить 6 серебряных и одну медную;
• за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 55 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Пусть вторая операция (8 серебряных → 6 золотых + 1 медная) выполнена $x$ раз, тогда получено $6x$ золотых и $x$ медных. Эти золотые тратятся в первой операции (5 золотых → 6 серебряных + 1 медная), которая должна быть выполнена

$$\frac{6x}{5}$$

раз.

Чтобы число операций было целым, $6x$ должно делиться на 5.

Минимальное $x=5\text{,}$ тогда медных: от второй операции 5, от первой

$$\frac{6x}{5}=6$$

раз → 6 медных, всего 11.

Нужно 55 медных, поэтому умножим на 5: $x=25\text{.}$

При $x=25\text{:}$

• Вторая операция: тратим $25\times 8=200$ серебряных, получаем $25\times 6=150$ золотых и 25 медных.

• Первая операция: выполняем $150/5=30$ раз, тратим 150 золотых, получаем $30\times 6=180$ серебряных и 30 медных.

Всего медных: $25+30=55\text{.}$

Изменение серебряных: $-200+180=-20\text{.}$

Ответ: на 20.