На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 18 и AD = 42, отмечена точка E так, что EAB = 45^. Найдите ED.

Задача №10852: Планиметрия

1. Рассмотрим прямоугольник $A B C D .$ По свойствам прямоугольника противоположные стороны равны: $C D = A B = 18$ и $B C = A D = 42 .$

2. Рассмотрим треугольник $A B E .$ По условию $∠ B = 9 0^{\circ}$ (так как $A B C D$ — прямоугольник) и $∠ E A B = 4 5^{\circ} .$ Следовательно:

∠ A E B = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .

Треугольник $A B E$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, значит, $B E = A B = 18 .$

3. Точка $E$ лежит на стороне $B C .$ Найдем длину отрезка $E C :$

E C = B C - B E = 42 - 18 = 24.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $E C D$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ). По теореме Пифагора:

E D^{2} = E C^{2} + C D^{2},

E D^{2} = 2 4^{2} + 1 8^{2} = 576 + 324 = 900,

E D = 900 = 30.

Ответ: 30.

∠ A E B = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .

Треугольник $A B E$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, значит, $B E = A B = 18 .$

3. Точка $E$ лежит на стороне $B C .$ Найдем длину отрезка $E C :$

E C = B C - B E = 42 - 18 = 24.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $E C D$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ). По теореме Пифагора:

E D^{2} = E C^{2} + C D^{2},

E D^{2} = 2 4^{2} + 1 8^{2} = 576 + 324 = 900,

E D = 900 = 30.

Ответ: 30.