Задача №10537

ABCDEFGHIJ — правильный десятиугольник. Найдите угол $CAH\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Поскольку десятиугольник $ABCDEFGHIJ$ — правильный, все его вершины лежат на одной окружности и делят её на 10 равных дуг. Градусная мера каждой такой дуги равна:

Угол $CAH$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $CDEFGH\text{.}$

Эта дуга состоит из 5 равных частей: $CD\text{,}$ $DE\text{,}$ $EF\text{,}$ $FG$ и $GH\text{.}$ Её градусная мера равна:

Поскольку градусная мера дуги $CDEFGH$ равна $180^{\circ }\text{,}$ отрезок $CH$ является диаметром описанной окружности. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }\text{.}$

Следовательно, $\angle CAH=90^{\circ }\text{.}$

Ответ: 90.