В параллелограмме ABCD известно, что AB = 12, AC = BD = 13. Найдите площадь параллелограмма.

Задача №10533: Планиметрия

Пусть в параллелограмме $A B C D$ сторона $A B = 12,$ диагонали $A C = B D = 13 .$ Обозначим смежную сторону $B C = A D = x,$ а угол при вершине $A$ (между сторонами $A B$ и $A D$ ) равен $α .$

По теореме косинусов для треугольников $A B C$ и $A B D :$

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos (∠ A B C)

Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $18 0^{\circ} .$ Тогда $∠ A B C = 18 0^{\circ} - α .$ По формулам приведения:

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

Тогда выражение для квадрата диагонали $A C :$

A C^{2} = 1 2^{2} + x^{2} - 2 \cdot 12 \cdot x \cdot (- cos α) = 144 + x^{2} + 24 x cos α

Для второй диагонали $B D :$

B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2 \cdot A B \cdot A D \cdot cos α = 144 + x^{2} - 24 x cos α

По условию $A C = B D = 13,$ значит $A C^{2} = B D^{2} = 169 .$ Получаем систему уравнений:

{144 + x^{2} + 24 x cos α = 169 144 + x^{2} - 24 x cos α = 169

Вычтем второе уравнение из первого:

(144 + x^{2} + 24 x cos α) - (144 + x^{2} - 24 x cos α) = 0 \Rightarrow 48 x cos α = 0

Так как $x > 0,$ то $cos α = 0,$ откуда $α = 9 0^{\circ} .$ Следовательно, параллелограмм $A B C D$ является прямоугольником.

Подставим $cos α = 0$ в первое уравнение:

144 + x^{2} = 169 \Rightarrow x^{2} = 25 \Rightarrow x = 5 (при x > 0)

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон:

S = A B \cdot B C = 12 \cdot 5 = 60

Ответ: 60.

Задача №10533

Задача #10533

Решай похожие задачи

Информация

Задача #10533

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация