В параллелограмме ABCD известно, что AB = 12, AC = BD = 13. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть в параллелограмме ABCD сторона AB = 12, диагонали AC = BD = 13. Обозначим смежную сторону BC = AD = x, а угол при вершине A (между сторонами AB и AD) равен alpha. По теореме косинусов для треугольников ABC и ABD: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos( ABC) Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180^. Тогда ABC = 180^ - alpha. По формулам приведения: cos(180^ - alpha) = -cos alpha Тогда выражение для квадрата диагонали AC: AC^2 = 12^2 + x^2 - 2 * 12 * x * (-cos alpha) = 144 + x^2 + 24x cos alpha Для второй диагонали BD: BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos alpha = 144 + x^2 - 24x cos alpha По условию AC = BD = 13, значит AC^2 = BD^2 = 169. Получаем систему уравнений: cases 144 + x^2 + 24x cos alpha = 169 144 + x^2 - 24x cos alpha = 169 cases Вычтем второе уравнение из первого: (144 + x^2 + 24x cos alpha) - (144 + x^2 - 24x cos alpha) = 0 => 48x cos alpha = 0 Так как x > 0, то cos alpha = 0, откуда alpha = 90^. Следовательно, параллелограмм ABCD является прямоугольником. Подставим cos alpha = 0 в первое уравнение: 144 + x^2 = 169 => x^2 = 25 => x = 5 (при x > 0) Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон: S = AB * BC = 12 * 5 = 60 Ответ: 60.

60