Задача №09040

Для нахождения площади поверхности данной детали (многогранника) можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Метод проекций

Поскольку все двугранные углы многогранника прямые, мы можем спроецировать его грани на три взаимно перпендикулярные плоскости (спереди-сзади, слева-справа, сверху-снизу). Суммарная площадь поверхности будет равна удвоенной сумме площадей этих трёх проекций.

1. Проекция на переднюю/заднюю плоскость (вид спереди):
Вид спереди представляет собой фигуру, состоящую из двух прямоугольников: левого (высотой $4$ см и шириной $2$ см) и правого (высотой $2$ см и шириной $2$ см).

$$S_{\text{перед}}=4\cdot 2+2\cdot 2=8+4=12{\text{ см}}^2.$$

2. Проекция на левую/правую плоскость (вид сбоку):
Вид сбоку представляет собой прямоугольник со сторонами, равными высоте всей детали ($4$ см) и её глубине ($2$ см).

$$S_{\text{бок}}=4\cdot 2=8{\text{ см}}^2.$$

3. Проекция на верхнюю/нижнюю плоскость (вид сверху):
Вид сверху состоит из двух квадратов со стороной $2$ см: верхней грани левой колонны и верхней грани правой ступени.

$$S_{\text{верх}}=2\cdot 2+2\cdot 2=4+4=8{\text{ см}}^2.$$

4. Полная площадь поверхности детали:

$$S=2\cdot (S_{\text{перед}}+S_{\text{бок}}+S_{\text{верх}})=2\cdot (12+8+8)=2\cdot 28=56{\text{ см}}^2.$$

---

Способ 2: Поочерёдное нахождение площадей всех граней

Разобьём поверхность детали на отдельные плоские грани и найдём их площади:

• Передняя и задняя грани имеют одинаковую Т-образную форму:

$$S_{\text{перед}}=S_{\text{зад}}=4\cdot 2+2\cdot 2=12{\text{ см}}^2.$$

• Левая боковая грань имеет размеры $4\times 2\text{:}$

$$S_{\text{лев}}=4\cdot 2=8{\text{ см}}^2.$$

• Правая боковая грань (крайняя правая) имеет размеры $2\times 2\text{:}$

$$S_{\text{прав}}=2\cdot 2=4{\text{ см}}^2.$$

• Внутренние вертикальные грани (ступени в месте перехода ширины):
  Верхняя ступенька вниз и нижняя ступенька вверх имеют высоту $1$ см и глубину $2$ см:

$$S_{\text{ступ\_верт}}=2\cdot (1\cdot 2)=4{\text{ см}}^2.$$

• Горизонтальные грани (верхние и нижние):
  • Две верхние горизонтальные грани (левая и правая) имеют площади $2\cdot 2=4{\text{ см}}^2$ каждая.
  • Две нижние горизонтальные грани (левая и правая) имеют площади $2\cdot 2=4{\text{ см}}^2$ каждая.
    Сумма площадей всех четырёх горизонтальных граней:

$$S_{\text{гориз}}=4\cdot (2\cdot 2)=16{\text{ см}}^2.$$

Сложим площади всех граней:

$$S=12+12+8+4+4+16=56{\text{ см}}^2.$$