Задача №09027

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Для нахождения площади поверхности данного многогранника (детали) разобьем её на грани по трем направлениям проектирования (или воспользуемся методом проекций на координатные плоскости).

Поскольку все двугранные углы прямые, площади граней по трем направлениям (вид спереди/сзади, вид слева/справа, вид сверху/снизу) попарно равны, так как площади проекций детали на противоположные стороны совпадают.

Проанализируем размеры детали по рисунку:

• Общая высота детали (слева): $H=5\text{ см}\text{.}$
• Глубина детали (вдоль уходящих назад ребер): $D=3\text{ см}\text{.}$
• Ширина верхней ступени: $W_1=2\text{ см}\text{.}$
• Ширина правой ступени: $W_2=1\text{ см}\text{.}$
• Высота правой ступени: $h=2\text{ см}\text{.}$

Полная площадь поверхности многогранника состоит из суммы площадей всех его граней:

1. Вид спереди и сзади (перпендикулярно направлению глубины):
Передняя грань представляет собой ступенчатую фигуру. Её площадь можно найти как сумму площадей двух прямоугольников:

• Левый прямоугольник шириной $2\text{ см}$ и высотой $5\text{ см}\text{:}$ $S_{\text{лев}}=2\times 5=10{\text{ см}}^2\text{.}$
• Правый прямоугольник шириной $1\text{ см}$ и высотой $2\text{ см}$ (так как правое ребро равно $2$): $S_{\text{прав}}=1\times 2=2{\text{ см}}^2\text{.}$

Таким образом, площадь передней грани равна $S_{\text{перед}}=10+2=12{\text{ см}}^2\text{.}$

Площадь задней грани равна площади передней грани: $S_{\text{зад}}=S_{\text{перед}}=12{\text{ см}}^2\text{.}$

2. Вид слева и справа:

• Площадь грани слева (прямоугольник со сторонами $5\text{ см}$ и $3\text{ см}$): $S_{\text{лев}}=5\times 3=15{\text{ см}}^2\text{.}$

• Справа находятся три вертикальные грани, параллельные левой грани:

  • Верхняя правая грань высотой $5-2=3\text{ см}$ и глубиной $3\text{ см}\text{:}$ $S_{\text{в.-пр.}}=3\times 3=9{\text{ см}}^2\text{.}$
  • Нижняя правая грань (под выступом, идет вверх от основания левой части) высотой $2\text{ см}$ и глубиной $3\text{ см}\text{:}$ $S_{\text{н.-пр.1}}=2\times 3=6{\text{ см}}^2\text{.}$
  • Самая правая вертикальная грань высотой $2\text{ см}$ и глубиной $3\text{ см}\text{:}$ $S_{\text{н.-пр.2}}=2\times 3=6{\text{ см}}^2\text{.}$

  В сумме площади всех правых вертикальных граней дают ту же площадь, что и левая грань: $S_{\text{справа}}=S_{\text{слева}}=15{\text{ см}}^2\text{.}$

3. Вид сверху и снизу:

• Сверху расположены две горизонтальные грани:

  • Верхняя площадка размером $2\times 3\text{:}$ $S_{\text{верх.1}}=2\times 3=6{\text{ см}}^2\text{.}$
  • Площадка ступени размером $1\times 3\text{:}$ $S_{\text{верх.2}}=1\times 3=3{\text{ см}}^2\text{.}$

  Суммарная площадь горизонтальных граней, обращенных вверх: $S_{\text{вверх}}=6+3=9{\text{ см}}^2\text{.}$

• Снизу расположены две горизонтальные грани, обращенные вниз (под левой частью и под правой выступающей частью):

  • Нижняя грань левой части размером $2\times 3\text{:}$ $S_{\text{низ.1}}=2\times 3=6{\text{ см}}^2\text{.}$
  • Нижняя грань правой части размером $1\times 3\text{:}$ $S_{\text{низ.2}}=1\times 3=3{\text{ см}}^2\text{.}$

  Суммарная площадь горизонтальных граней, обращенных вниз: $S_{\text{вниз}}=6+3=9{\text{ см}}^2\text{.}$

4. Полная площадь поверхности детали:

Ответ: 72.