66:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/3_g23th_xvfv0.js"],""] 67:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/3_g23th_xvfv0.js"],"default"] 68:I[209158,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/3_g23th_xvfv0.js"],"PromoSlot"] 69:I[375075,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/3_g23th_xvfv0.js"],"ProblemTypeClient",1] 6a:T1276,Обозначим два данных выражения \[ A(x)=|x-3|\,\bigl(|x-5|-|x-3|\bigr)-6x,\qquad B(x)=|x|\,\bigl(|x|-|x-8|\bigr)+24. \] Условие задачи требует найти все \(x\), при которых хотя бы для одного из этих выражений одновременно выполнено: само выражение неположительно и его модуль не меньше модуля другого. То есть искомое множество — это объединение \[ \bigl(A\le 0\ \text{и}\ |A|\ge |B|\bigr)\quad\text{или}\quad\bigl(B\le 0\ \text{и}\ |B|\ge |A|\bigr). \] Модули раскрываются в точках \(0,\ 3,\ 5,\ 8\), поэтому разобьём числовую прямую на участки \((-\infty;0)\), \([0;3)\), \([3;5]\), \((5;8)\), \([8;+\infty)\) и на каждом запишем \(A\) и \(B\) многочленами. **Раскрытие модулей по участкам.** | Участок | \(A(x)\) | \(B(x)\) | |---|---|---| | \(x<0\) | \(6-8x\) | \(8x+24\) | | \(0\le x<3\) | \(6-8x\) | \(2x^2-8x+24\) | | \(3\le x\le 5\) | \(-2x^2+8x-24\) | \(2x^2-8x+24\) | | \(5< x<8\) | \(6-8x\) | \(2x^2-8x+24\) | | \(x\ge 8\) | \(6-8x\) | \(8x+24\) | Сразу отметим знак \(B\). На отрезке \([0;8]\) имеем \(B(x)=2x^2-8x+24=2\bigl((x-2)^2+8\bigr)\ge 16>0\). При \(x\ge 8\) выражение \(B=8x+24\ge 88>0\). При \(x<0\) выражение \(B=8x+24\) обращается в нуль в точке \(x=-3\) и отрицательно лишь при \(x<-3\). Значит, единственное место, где может выполняться \(B\le 0\), — это луч \(x\le -3\). **Ключевое наблюдение на отрезке \([3;5]\).** Здесь \[ A(x)=-2x^2+8x-24,\qquad B(x)=2x^2-8x+24, \] то есть \(B(x)=-A(x)\). При этом \[ A(x)=-2x^2+8x-24=-2\bigl((x-2)^2+8\bigr)<0 \] для всех \(x\) (дискриминант квадратного трёхчлена \(x^2-4x+12\) отрицателен, а старший коэффициент \(-2\)). Следовательно, на всём отрезке \([3;5]\) выполнено \(A(x)<0\le 0\) и, так как \(B=-A\), имеем \(|A|=|B|\), то есть \(|A|\ge |B|\). Значит, первая скобка в условии выполнена для каждого \(x\in[3;5]\) (включая концы, поскольку требуется «не меньше», и равенство модулей это требование удовлетворяет). Таким образом, весь отрезок \([3;5]\) входит в ответ. **Проверим, не добавляются ли точки вне \([3;5]\).** Заметим, что вне отрезка \([3;5]\) (а именно при \(0\le x<3\), \(5< x<8\) и \(x\ge 8\)) выражение \(B\) строго положительно, поэтому вторая скобка условия \(\bigl(B\le 0\bigr)\) там невозможна, и остаётся проверять только первую скобку с \(A\). Рассмотрим участки, где \(A(x)=6-8x\), а \(B(x)>0\) (это \(0\le x<3\), \(56>0\), так что условие \(A\le 0\) не выполняется, и первая скобка отпадает. Для второй скобки нужно \(B\le 0\), что возможно лишь при \(x\le -3\); тогда \(|B|=-(8x+24)\), \(|A|=6-8x\), и неравенство \(|B|\ge |A|\) принимает вид \[ -(8x+24)\ \ge\ 6-8x \quad\Longleftrightarrow\quad -24\ \ge\ 6, \] что неверно. Стало быть, и на луче \(x<0\) решений нет. **Итог.** Условию удовлетворяют ровно точки отрезка \([3;5]\): \[ \boxed{x\in[3;5]}. \]6b:T1636,Нужно найти все \(x\in[0;\pi]\), при которых выражения \[\operatorname{tg}x\qquad\text{и}\qquad \frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x\] имеют разные знаки, то есть при которых их произведение строго отрицательно (и оба выражения при этом определены). **Область определения.** Тангенс не определён при \(\cos x=0\), то есть при \(x=\dfrac{\pi}{2}\). Второе выражение не определено при \(\cos 2x=0\), то есть при \(2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), что на \([0;\pi]\) даёт \(x=\dfrac{\pi}{4}\) и \(x=\dfrac{3\pi}{4}\). Все эти точки из рассмотрения исключаются. **Преобразование второго выражения.** Приведём к общему знаменателю: \[\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x=\frac{1-2\cos^2 2x}{\cos 2x}.\] Так как \(2\cos^2 2x-1=\cos 4x\), числитель равен \(1-2\cos^2 2x=-\cos 4x\), поэтому \[\frac{1}{\cos 2x}-2\cos 2x=-\frac{\cos 4x}{\cos 2x}.\] **Сведение к произведению.** Условие «разные знаки» равносильно неравенству \[\operatorname{tg}x\cdot\left(-\frac{\cos 4x}{\cos 2x}\right)<0,\qquad\text{то есть}\qquad \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\cos 4x}{\cos 2x}>0.\] (Множитель \(-1\) перенесён в правую часть, знак неравенства изменился.) На отрезке \([0;\pi]\) имеем \(\sin x\ge 0\), причём \(\sin x=0\) лишь в концах \(x=0\) и \(x=\pi\) — там \(\operatorname{tg}x=0\), знаков «разных» быть не может, эти точки исключаем. Внутри \((0;\pi)\) множитель \(\sin x>0\), поэтому неравенство равносильно \[\frac{\cos 4x}{\cos x\,\cos 2x}>0.\] **Расстановка знаков.** На \((0;\pi)\) рассмотрим знаки трёх множителей. Знаменатель \(\cos x\): положителен на \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\), отрицателен на \(\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\). Множитель \(\cos 2x\): нули в \(x=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\); положителен на \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) и \(\left(\dfrac{3\pi}{4};\pi\right)\), отрицателен на \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right)\). Числитель \(\cos 4x\): нули в точках \(4x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\), то есть \(x=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\); положителен на \(\left(0;\dfrac{\pi}{8}\right),\left(\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{5\pi}{8}\right),\left(\dfrac{7\pi}{8};\pi\right)\) и отрицателен на \(\left(\dfrac{\pi}{8};\dfrac{3\pi}{8}\right),\left(\dfrac{5\pi}{8};\dfrac{7\pi}{8}\right)\). Все «особые» точки \(0,\dfrac{\pi}{8},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{8},\pi\) разбивают отрезок на восемь интервалов. Определим на каждом знак дроби \(\dfrac{\cos 4x}{\cos x\,\cos 2x}\) (берём по пробной точке — середине интервала): | Интервал | \(\cos 4x\) | \(\cos x\) | \(\cos 2x\) | дробь | разные знаки? | |---|---|---|---|---|---| | \((0;\tfrac{\pi}{8})\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | да | | \((\tfrac{\pi}{8};\tfrac{\pi}{4})\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | нет | | \((\tfrac{\pi}{4};\tfrac{3\pi}{8})\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | да | | \((\tfrac{3\pi}{8};\tfrac{\pi}{2})\) | \(+\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | нет | | \((\tfrac{\pi}{2};\tfrac{5\pi}{8})\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | да | | \((\tfrac{5\pi}{8};\tfrac{3\pi}{4})\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | нет | | \((\tfrac{3\pi}{4};\tfrac{7\pi}{8})\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | да | | \((\tfrac{7\pi}{8};\pi)\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | нет | Дробь положительна (значит, исходные выражения имеют разные знаки) на четырёх интервалах: \[\left(0;\frac{\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8}\right),\quad\left(\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}\right).\] **Концевые точки.** В точках \(x=\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{8},\dfrac{5\pi}{8},\dfrac{7\pi}{8}\) числитель \(\cos 4x=0\), поэтому второе выражение равно нулю — знаков «разных» нет. В точках \(x=\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\) второе выражение не определено, в точке \(x=\dfrac{\pi}{2}\) не определён тангенс, а в концах \(x=0,\pi\) тангенс равен нулю. Все границы исключаются, поэтому интервалы открытые. **Ответ.** \[\boxed{\,x\in\left(0;\frac{\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}\right).\,}\] Эти четыре интервала компактно записываются как \[\frac{\pi n}{4}

Фильтры

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ