Решите неравенство x+_6(28-3^(x+1)) (x)/(1+_23)+(2)/(1+_32).

Задача №20729: Неравенство

Область допустимых значений задаётся условием

28 - 3^{x + 1} > 0.

Преобразуем правую часть. Так как

1 + lo g_{2} 3 = lo g_{2} 6, 1 + lo g_{3} 2 = lo g_{3} 6,

получаем

\frac{x}{lo g _{2} 6} = x lo g_{6} 2, \frac{2}{lo g _{3} 6} = 2 lo g_{6} 3.

Поэтому правая часть равна

lo g_{6} 2^{x} + lo g_{6} 9 = lo g_{6} (9 \cdot 2^{x}) .

Левую часть запишем как

lo g_{6} 6^{x} + lo g_{6} (28 - 3^{x + 1}) = lo g_{6} (6^{x} (28 - 3 \cdot 3^{x})) .

Основание $6 > 1,$ поэтому неравенство равносильно

6^{x} (28 - 3 \cdot 3^{x}) ⩽ 9 \cdot 2^{x} .

Разделим обе части на $2^{x} > 0$ и учтём $6^{x} = 2^{x} 3^{x} :$

3^{x} (28 - 3 \cdot 3^{x}) ⩽ 9.

Положим $t = 3^{x} > 0 :$

28 t - 3 t^{2} ⩽ 9,

3 t^{2} - 28 t + 9 ⩾ 0,

(3 t - 1) (t - 9) ⩾ 0.

Отсюда $t ⩽ \frac{1}{3}$ или $t ⩾ 9,$ то есть

x ⩽ - 1 или x ⩾ 2.

Осталось учесть область допустимых значений:

3^{x + 1} < 28, x < lo g_{3} 28 - 1 = lo g_{3} \frac{28}{3} .

При $x ⩽ - 1$ это условие выполнено автоматически. Объединяя, получаем

x \in (- \infty; - 1] \cup [2; lo g_{3} \frac{28}{3}) .