Задача №20728

Решите уравнение

$$\sin 2x+2{\cos }^{2}x+\mathrm{tg}x=3.$$

Уравнение определено при $\cos x\ne 0\text{.}$ Выразим первые два слагаемых через $t=\mathrm{tg}x\text{:}$

$$\sin 2x=\frac{2t}{1+t^2},2{\cos }^{2}x=\frac{2}{1+t^2}.$$

Уравнение принимает вид

$$\frac{2t+2}{1+t^2}+t=3.$$

Умножим обе части на $1+t^2>0\text{:}$

$$2t+2+t+t^3=3+3t^2,$$ $$t^3-3t^2+3t-1=0,$$ $$(t-1{)}^3=0.$$

Значит $\mathrm{tg}x=1\text{,}$ откуда

$$x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Все найденные значения удовлетворяют условию $\cos x\ne 0\text{.}$