Задача №17973

Борис с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вверх по реке до пункта B, причем, в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Борис вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись 10 км, Борис заметил на берегу машущего ему рукой Анатолия, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Борис уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Борис с Анатолием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Бориса, откуда те крикнули, что пункт B уже совсем близко и чтобы Борис нигде не задерживался. Доставив Анатолия в пункт C, Борис немедленно помчался догонять друзей. Определите, какую долю пути оставалось пройти друзьям Бориса от момента встречи с ним и Анатолием, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, расстояние между пунктами B и C равно 2 км, скорости катеров постоянны, а Борис, действительно, нигде не задерживался.

Расстановка точек. Все движутся вверх по реке от $A$ к $B\text{.}$ Порядок пунктов вверх по течению: $A\to C\to B\text{,}$ причём точку $C$ Борис проехал, не доезжая до отметки в $10$ км. Введём координату вдоль реки (вверх по течению), $A=0\text{,}$ $C=c\text{,}$ $B=L\text{.}$ По условию $BC=L-c=2\text{.}$

Скорости. Пусть $u$ и $v$ — собственные скорости (в стоячей воде) быстрого катера Бориса и катера друзей, $w$ — скорость течения. Вверх по реке: Борис $u-w\text{,}$ друзья $v-w\text{;}$ вниз (Борис возвращается к $C$): $u+w\text{.}$ Борис быстрее, $u>v\text{.}$

Маршрут Бориса.

• Этап 1: от $A$ до отметки $10$ км вверх, время $t_1=\frac{10}{u-w}\text{.}$
• Этап 2: вниз от отметки $10$ до $C$ (расстояние $10-c$), время $t_2=\frac{10-c}{u+w}\text{.}$ По дороге происходит встреча со вторым катером.
• Этап 3: от $C$ вверх до $B$ (расстояние $L-c=2$), время $t_3=\frac{L-c}{u-w}\text{.}$

Полное время Бориса до $B\text{:}$ $T_B=t_1+t_2+t_3=\frac{10}{u-w}+\frac{10-c}{u+w}+\frac{L-c}{u-w}\text{.}$

Друзья. Идут вверх без остановок, время до $B\text{:}$ $T_F=\frac{L}{v-w}\text{.}$

Условие одновременного прихода $T_B=T_F\text{.}$ Подставляя $c=L-2$ и упрощая, получаем

Момент встречи. Друзья (вверх) и Борис (вниз) находятся в одной точке. Положение Бориса на этапе 2 в момент $t_1+s\text{:}$ $10-(u+w)s\text{;}$ положение друзей: $(v-w)(t_1+s)\text{.}$ Из равенства

Искомая доля. Друзьям от точки встречи до $B$ осталось пройти $L-x_{\text{встр}}\text{,}$ а доля от всего пути $A\to B$ равна

Доля не зависит от $u,v,w\text{:}$ обе данные (одновременный приход и $BC=2$ км) полностью её определяют. Существуют физически допустимые режимы (например $L\in (10,12)\text{,}$ $c\in (0,10)\text{,}$ все скорости положительны, $u>v$), в которых конфигурация реализуема, и во всех них доля равна $\frac{1}{6}\text{.}$

Ответ: друзьям оставалось пройти $\frac{1}{6}$ пути от $A$ до $B\text{.}$