Задача №17949

Василий с друзьями решили устроить пикник. Для этого им от пункта A нужно добраться вниз по реке до пункта B, причем в их распоряжении есть два катера. Считая себя самым ответственным, Василий вызвался самостоятельно доехать до пункта B на более быстроходном катере и начать готовить место для пикника. Оба катера вышли одновременно из пункта A. Однако, промчавшись восемь километров, Василий заметил на берегу машущего ему рукой Григория, который просил по старой дружбе довезти его до пункта C. И хоть пункт C Василий уже проехал, он согласился. По пути в пункт C Василий с Григорием встретили идущий навстречу второй катер с друзьями Василия, откуда те крикнули, что им до пункта B осталась треть пути и чтобы Василий нигде не задерживался. Доставив Григория в пункт C, Василий немедленно помчался догонять друзей. Найдите расстояние между пунктами B и C, если известно, что оба катера пришли в пункт B одновременно, скорости катеров постоянны, а Василий, действительно, нигде не задерживался.

Пусть $v_1$ — скорость медленного катера относительно берега, $v_2$ и $v_3$ — скорости быстроходного катера относительно берега при движении вниз и вверх по реке соответственно. Пусть $t_1$ — время между общим стартом и встречей Василия и Григория, $t_2$ — время между встречей Василия и Григория и их встречей со вторым катером, $t_3$ — время между встречей со вторым катером и прибытием в пункт C и $t_4$ — время, ушедшее у Василия на дорогу из пункта C до пункта B. Обозначим также через X место промежуточной встречи катеров. Тогда расстояние от A до X равно, с одной стороны, $v_1(t_1+t_2)\text{,}$ а с другой, $v_2{t}_1-v_3{t}_2\text{.}$ Аналогично, расстояние от X до B равно, с одной стороны, $v_1(t_3+t_4)\text{,}$ а с другой, $v_2{t}_4-v_3{t}_3\text{.}$ При этом первое расстояние по условию в два раза больше второго. Отсюда

Домножим первое уравнение на $\frac{v_3}{v_2}$ и сложим со вторым. Получим

откуда $t_1=2t_4\text{,}$ то есть искомое расстояние равно половине от $8$ км, то есть равно $4$ км.