В 14:00 из села Верхнее вниз по течению реки в сторону села Нижнее отправился катер «Быстрый». Когда до Нижнего оставалось плыть 500 метров, ему навстречу из Нижнего вышел катер «Смелый». В этот же самый момент «Быстрый», не желая встречи со «Смелым», развернулся и пошел обратно к Верхнему. В 14:14, когда расстояние по реке от «Быстрого» до Верхнего сравнялось с расстоянием по реке от «Смелого» до «Быстрого», на «Смелом» осознали, что они идут с «Быстрым» на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно к Нижнему. В исходные пункты катера вернулись одновременно в 14:18. Найдите расстояние по реке между Верхним и Нижним, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

В момент выхода «Смелого» из села Нижнее расстояние между катерами составляло 500 м. Так как против течения реки они двигались с постоянной скоростью, то и в момент, когда «Смелый», развернувшись, двинулся назад в сторону Нижнего, расстояние между «Смелым» и «Быстрым» составляло 500 м. Согласно условию в этот момент расстояние по реке от «Быстрого» до села Верхнее также составляло 500 метров. Эти последние 500 метров пути катер «Быстрый» проплыл за 4 минуты, двигаясь против течения. Следовательно, его скорость относительно берега при движении против течения реки равна 500/4=125 м/мин. Пусть S метров — расстояние между селами Верхнее и Нижнее и v м/мин. — скорость катеров относительно берега при движении по течению реки. Ясно, что v>125. Из сказанного выше следует, что в момент разворота катера «Смелый» расстояние по реке от него до села Верхнее равнялось 1000 метров, а длина обратного пути «Смелого» до села Нижнее равнялась S-1000 метров. «Смелый» проплыл этот путь по течению реки за 4 минуты, поэтому S-1000=4v или S=4v+1000 метров. По условию катер «Быстрый» до разворота проплыл S-500 метров, затратив на весь свой путь 18 минут. Поэтому (S-500)/(125)+(S-500)/(v)=18. Подставляя в это равенство 1000+4v вместо S и обозначая для краткости x=(v)/(125), приходим к уравнению 2x+(2)/(x)=5. Решая это уравнение, находим корни x_1=2, x_2=1/2. Учитывая, что x>1, получаем: x=2, v=250 и S=2000. Стало быть, искомое расстояние равно 2 км.

2 км