Задача №17836

От биостанции до границы заповедника вверх по реке ровно $14$ км. В $7:00$ браконьеры вошли на катере в заповедник и направились в сторону биостанции. Через некоторое время им навстречу с биостанции вышел катер рыбинспекции. Браконьеры тут же развернулись и направились обратно к границе заповедника. В $7:38\text{,}$ когда браконьеры оказались ровно посередине между рыбинспекторами и границей, рыбинспекторы осознали, что они идут с браконьерами на одинаковой скорости, развернулись и направились обратно на биостанцию. До биостанции они добрались ровно в тот момент, когда браконьеры выехали за пределы заповедника — в $7:50\text{.}$ Найдите наименьшее расстояние, на котором находились браконьеры и рыбинспекторы, если известно, что оба катера движутся равномерно и с одинаковой собственной скоростью.

Введём координату $x$ — расстояние вверх по реке от биостанции ($x=0$) до границы заповедника ($x=14$). Течение направлено от границы к биостанции, поэтому скорость вниз по течению (к биостанции, убывание $x$) равна $u+c\text{,}$ а скорость вверх (к границе, возрастание $x$) равна $u-c\text{,}$ где $u$ — собственная скорость катеров (одинаковая), $c$ — скорость течения.

В момент $t_1$ (минут после 7:00) с биостанции выходит рыбинспекция и идёт вверх:

Решение системы (1)–(3) даёт единственный физичный набор

Тогда вниз по течению $u+c=\frac{1}{2}$ км/мин, вверх $u-c=\frac{1}{3}$ км/мин $>0$ (ОДЗ $u>c$ выполнено), все координаты лежат в $[0,14]\text{:}$ браконьеры разворачиваются в точке $x_{\text{б}}(20)=4$ (биостанцию не проходят).

На участке $20\le t\le 38$ оба катера идут вверх с одинаковой скоростью $u-c=\frac{1}{3}$ км/мин, поэтому расстояние постоянно:

Именно поэтому инспекторы заметили равенство скоростей. На участке $38\le t\le 50$ браконьеры идут вверх, а инспекция — вниз, катера расходятся: $d(50)=14-0=14\text{.}$ Значит наименьшее расстояние достигается на отрезке $[20,38]$ и равно

Самопроверка (подстановка). $x_{\text{б}}(0)=14\text{;}$ $x_{\text{и}}(20)=0\text{;}$ $x_{\text{б}}(38)=10$ и $\frac{x_{\text{и}}(38)+14}{2}=\frac{6+14}{2}=10$ — середина выполнена; $x_{\text{и}}(50)=0\text{,}$ $x_{\text{б}}(50)=14\text{.}$ Все условия задачи выполняются точно.

Ответ: $4$ км.