Задача №17835

Решите уравнение

$$\frac{\sin 3x}{\sin x}+\frac{\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\sin 3x}+\frac{\cos x}{\cos 3x}.$$

Запишем уравнение

$$\frac{\sin 3x}{\sin x}+\frac{\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\sin 3x}+\frac{\cos x}{\cos 3x}.$$

ОДЗ. Все знаменатели отличны от нуля: $\sin x\ne 0\text{,}$ $\cos x\ne 0\text{,}$ $\sin 3x\ne 0\text{,}$ $\cos 3x\ne 0\text{.}$ Условия $\sin 3x\ne 0$ и $\cos 3x\ne 0$ вместе дают $\sin 6x\ne 0\text{,}$ то есть $3x\ne \frac{n\pi }{2}\text{,}$ а условия $\sin x\ne 0\text{,}$ $\cos x\ne 0$ дают $x\ne \frac{n\pi }{2}\text{.}$ В совокупности ОДЗ: $x\ne \frac{n\pi }{6},n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Преобразование левой части.

$$\frac{\sin 3x}{\sin x}+\frac{\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin 3x\cos x+\cos 3x\sin x}{\sin x\cos x}=\frac{\sin 4x}{\frac{1}{2}\sin 2x}=\frac{2\sin 4x}{\sin 2x}=\frac{2\cdot 2\sin 2x\cos 2x}{\sin 2x}=4\cos 2x.$$

Преобразование правой части.

$$\frac{\sin x}{\sin 3x}+\frac{\cos x}{\cos 3x}=\frac{\sin x\cos 3x+\cos x\sin 3x}{\sin 3x\cos 3x}=\frac{\sin 4x}{\frac{1}{2}\sin 6x}=\frac{2\sin 4x}{\sin 6x}.$$

Уравнение. Получаем $4\cos 2x=\frac{2\sin 4x}{\sin 6x}\text{.}$ В ОДЗ $\sin 6x\ne 0\text{,}$ поэтому домножаем на $\sin 6x\text{:}$

$$4\cos 2x\sin 6x=2\sin 4x⟺2\cos 2x\sin 6x=\sin 4x.$$

По формуле произведения $2\cos 2x\sin 6x=\sin 8x+\sin 4x\text{,}$ значит

$$\sin 8x+\sin 4x=\sin 4x⟺\sin 8x=0⟺8x=k\pi ⟺x=\frac{k\pi }{8},k\in \mathbb{Z}.$$

Отбор по ОДЗ. Значение $x=\frac{k\pi }{8}$ запрещено, когда оно кратно $\frac{\pi }{6}\text{:}$ из $\frac{k\pi }{8}=\frac{m\pi }{6}$ следует $6k=8m\text{,}$ то есть $3k=4m\text{,}$ что (поскольку $\gcd (3,4)=1$) равносильно $k\equiv 0(\mathrm{mod}4)\text{.}$ При таких $k$ имеем $x=\frac{k}{4}\cdot \frac{\pi }{2}$ — кратно $\frac{\pi }{2}\text{,}$ и одновременно нарушаются $\sin x\cos x\ne 0\text{.}$ При всех остальных $k$ (не кратных 4) все четыре исходных знаменателя ненулевые, домножение на $\sin 6x$ обратимо, и посторонних корней не возникает.

Ответ. $x=\frac{k\pi }{8}\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}$ и $k$ не делится на 4, то есть $x=\frac{k\pi }{8},k\in \mathbb{Z}\setminus 4\mathbb{Z}\text{.}$