Задача №17802

Запишите одной обыкновенной дробью число:

$$\frac{\sqrt{8}\left(\frac{4}{7}-\frac{2}{5}\right)}{\sqrt{18}\left(\frac{12}{7}+\frac{6}{5}\right)}.$$

Преобразуем отдельно множители, содержащие радикалы, и числовые скобки, после чего перемножим результаты.

Отношение радикалов. Корни в числителе и знаменателе удобно объединить под один знак квадратного корня:

$$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{18}}=\sqrt{\frac{8}{18}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}.$$

Скобка в числителе. Приведём к общему знаменателю $35\text{:}$

$$\frac{4}{7}-\frac{2}{5}=\frac{4\cdot 5-2\cdot 7}{35}=\frac{20-14}{35}=\frac{6}{35}.$$

Скобка в знаменателе. Аналогично, с общим знаменателем $35\text{:}$

$$\frac{12}{7}+\frac{6}{5}=\frac{12\cdot 5+6\cdot 7}{35}=\frac{60+42}{35}=\frac{102}{35}.$$

Сборка дроби. Подставляя найденные значения, получаем

$$\frac{\sqrt{8}\left(\frac{4}{7}-\frac{2}{5}\right)}{\sqrt{18}\left(\frac{12}{7}+\frac{6}{5}\right)}=\frac{2}{3}\cdot \frac{\frac{6}{35}}{\frac{102}{35}}.$$

Деление дробей с одинаковым знаменателем $35$ сводится к делению числителей:

$$\frac{\frac{6}{35}}{\frac{102}{35}}=\frac{6}{102}=\frac{1}{17}.$$

Окончательно

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{17}=\frac{2}{51}.$$

Дробь $\frac{2}{51}$ несократима, так как $51=3\cdot 17$ не имеет общих множителей с числом $2\text{.}$

$$\boxed{\frac{2}{51}}$$