Задача №17795

Вычислите ${\log }_3{\log }_{64}\frac{716}{179}\text{.}$

Вычисление проведём, последовательно упрощая выражение изнутри наружу.

Шаг 1: упростим дробь под знаком логарифма. Заметим, что $716=179\cdot 4\text{,}$ поэтому

Шаг 2: вычислим внутренний логарифм. Так как $64=4^3\text{,}$ то

(Здесь использовано тождество ${\log }_{a^k}a=\frac{1}{k}\text{:}$ действительно, $(4^3{)}^{1/3}=4\text{,}$ то есть $64^{1/3}=4\text{.}$)

Шаг 3: вычислим внешний логарифм. Полученное значение $\frac{1}{3}>0\text{,}$ поэтому внешний логарифм ${\log }_3$ определён. Имеем

Проверим корректность области определения всей конструкции: аргумент внутреннего логарифма $\frac{716}{179}=4>0$ и не равен $1\text{,}$ его значение $\frac{1}{3}>0\text{,}$ поэтому внешний логарифм ${\log }_3\frac{1}{3}$ также определён. Посторонних значений не возникает.

Ответ: $-1\text{.}$