Уравнения (Задание 20)
Внутри задания 20 «уравнения» — самый разнообразный подвид. В конспекте типа ты уже видел базовый случай: кубическое уравнение, которое раскладывается группировкой (x3+4x2=9x+36). Здесь разберём то, на чём чаще всего теряют балл — три «коварных» вида уравнений, где недостаточно просто разложить на множители:
- иррациональное с одинаковым «хвостом» — под корнем то же выражение слева и справа; корень сокращается, но появляется ОДЗ и отбор корней;
- уравнение с заменой переменной — дробь вида (x−1)21+x−12−3=0 превращается в обычное квадратное через t=x−11;
- сумма квадратов равна нулю — A2+B2=0, где подходит только тот x, что обнуляет оба слагаемых сразу.
Общее у всех трёх: сводим к квадратному уравнению, а балл решает финальный шаг — правильно отобрать и записать корни.
Приёмы этого топика
ВАЖНОЕ
Сумма квадратов равна нулю
A2+B2=0⟺{A=0,B=0.Квадрат никогда не бывает отрицательным, поэтому сумма двух квадратов равна нулю только если каждый из них равен нулю одновременно. Уравнение с суммой квадратов превращается в систему — ищем общий корень обоих слагаемых.
ВАЖНОЕ
Корни квадратного уравнения
Если ax2+bx+c=0, то
D=b2−4ac,x1,2=2a−b±D.Дискриминант и формула корней есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но применять надо мгновенно. К любому из трёх видов выше ты придёшь именно к квадратному уравнению.
iЗАМЕЧАНИЕ
Замена переменной
Если в уравнении несколько раз повторяется одно и то же выражение (например x−11 в первой и второй степени), обозначь его новой буквой t. Дробное или «страшное» уравнение станет обычным квадратным t2+…=0. Решив его, вернись к x: подставь найденные t обратно в замену.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
ОДЗ и отбор корней — где теряют балл
- Есть корень — сразу пиши ОДЗ: подкоренное ⩾0. Есть дробь — знаменатель =0.
- Решив квадратное уравнение, сверь каждый корень с ОДЗ. Корень, не попавший в ОДЗ, — посторонний, его выбрасывают.
- Теорема Виета быстрее дискриминанта, но её нет в справочных материалах — держи x1+x2=−p, x1x2=q в голове.
- В ответ идут все оставшиеся корни. Пропустил корень или записал посторонний — балл снизят.
- Десятичные и дроби пиши через запятую: 32 или 0,5, а не 0.5.
Алгоритм
АЛГОРИТМ
От уравнения к ответу
1. Определи вид. Есть с одинаковым выражением слева и справа — иррациональное; повторяется одна дробь — замена; сумма квадратов — система.
2. Выпиши ОДЗ, если есть корень или дробь (подкоренное ⩾0, знаменатель =0).
3. Упрости своим приёмом: сократи одинаковое слагаемое / сделай замену t / приравняй каждый квадрат к нулю.
4. Реши квадратное уравнение — дискриминант (он в справочных) или Виета.
5. Вернись к x, если делал замену.
6. Отбери корни по ОДЗ — выброси посторонние.
7. Проверь подстановкой и запиши в ответ все оставшиеся корни.
Разбор задач из банка
ПРИМЕР 1
Иррациональное с одинаковым слагаемым
Решите уравнение x2−2x+3−x=3−x+8.
ПРИМЕР 2
Замена переменной
Решите уравнение (x−1)21+x−12−3=0.
ПРИМЕР 3
Сумма квадратов равна нулю
Решите уравнение (x2−25)2+(x2+3x−10)2=0.
Что важно помнить
✓СОВЕТ
Стратегия на уравнениях задания 20
- Сначала определи вид — от него зависит первый шаг (сократить , заменить t или расписать сумму квадратов).
- Оформляй каждый шаг: ОДЗ, преобразование, решение квадратного, отбор. Проверяющий должен видеть логику — за это баллы.
- Быстрая самопроверка: подставь корень в исходное уравнение; сошлось — верно.
- Не теряй и не добавляй корни: записывай все оставшиеся после отбора, посторонние выбрасывай.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Порог отметки на ОГЭ
Задание 20 — алгебра и берётся легко, но помни правило всего экзамена: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов за геометрию (задания 15-19 и 23-25). Одной алгеброй порог не закрыть — не пропускай геометрию.
Отработка
Закрепи тему на живых задачах банка:
- Коллекция топика «Уравнения»: /math/oge-math/collections/topic-uravneniya-20-oge
- Все задачи типа (задание 20): /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-20