Задание 20: Уравнения, неравенства и их системы — ОГЭ

Уравнения, неравенства и их системы (Задание 20)

Задание 20 открывает вторую часть ОГЭ — ту, где мало написать ответ, нужно оформить полное решение с обоснованиями. За это задание дают до 2 баллов, и берётся оно уверенно: почти всегда это одно из трёх — уравнение (чаще кубическое, которое раскладывается на множители), рациональное неравенство или система из двух уравнений. Никаких длинных выкладок здесь не бывает: вся хитрость в том, чтобы разложить выражение на множители и аккуратно довести до ответа.

Разберём три подтемы, которые встречаются в этом задании:

Уравнения (oge-math-topic-uravneniya-20) — кубические и дробно-рациональные, решаются группировкой и формулами сокращённого умножения.
Неравенства (oge-math-topic-neravenstva-20) — раскладываем на множители и применяем метод интервалов.
Системы уравнений (oge-math-topic-sistemy-uravneniy-20) — два уравнения с двумя неизвестными, чаще всего решаются сложением или подстановкой.

Инструменты, которые понадобятся

Почти всё задание 20 держится на умении разложить многочлен на множители. Две формулы ниже есть в справочных материалах КИМ — их выдают на экзамене, наизусть заучивать не обязательно, но пользоваться надо уметь мгновенно.

ВАЖНОЕ

Разность квадратов (ФСУ)

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Именно она превращает $x^{2} - 9$ в $(x - 3) (x + 3),$ а $x^{2} - 64$ — в $(x - 8) (x + 8) .$ Формула есть в справочных материалах.

ВАЖНОЕ

Корни квадратного уравнения

Если $a x^{2} + b x + c = 0,$ то

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .

Дискриминант и формула корней есть в справочных материалах КИМ.

ВАЖНОЕ

Теорема Виета

Для приведённого квадратного уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ корни связаны так:

x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q .

А вот Виета в справочный лист не входит — эту связку держи в голове, она часто быстрее дискриминанта.

iЗАМЕЧАНИЕ

Разложение группировкой

Кубическое уравнение вида $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ на ОГЭ почти всегда раскладывается группировкой: слагаемые разбивают на две пары, из каждой выносят общий множитель — и появляется одинаковая скобка. Дальше произведение приравнивают к нулю.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Как оформлять и записывать ответ

Уравнение: в ответ идут все найденные корни, обычно их 2-3. Пропустил корень — балл снизят.
Неравенство: ответ — это промежуток (или объединение промежутков). Следи за скобками: квадратная ] — точка входит (нестрогое $⩽$ или ноль числителя), круглая ) — не входит (строгое $<$ или точка разрыва / деление на ноль).
Система: ответ — пары $(x; y) .$ Каждому $x$ нужно найти свой $y;$ забыть про второй знак корня $x = \pm 1$ — типичная потеря балла.
Десятичные пиши через запятую: $12, 5,$ а не $12.5 .$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

От условия к ответу

1. Определи тип. Есть знак $=$ и одна буква — уравнение; знак $⩽$ или $⩾$ — неравенство; фигурная скобка и две буквы — система.
2. Собери всё в одну часть (для уравнения и неравенства): перенеси слагаемые так, чтобы справа остался ноль.
3. Разложи на множители: группировка, вынесение общего множителя, ФСУ или разложение квадратного трёхчлена по корням $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .$
4. Найди нули каждого множителя — это границы (для уравнения уже сами корни).
5. Для неравенства — отметь нули на координатной прямой и расставь знаки методом интервалов.
6. Для системы — сложи или вычти уравнения, чтобы убрать одну переменную, реши, затем подставь обратно и найди вторую.
7. Проверь подстановкой хотя бы один корень и запиши ответ в нужном формате.

Разбор задач из банка

Три примера ниже — по одному на каждую подтему: уравнение, неравенство и система.

ПРИМЕР 1

Кубическое уравнение

Решите уравнение $x^{3} + 4 x^{2} = 9 x + 36 .$

ПРИМЕР 2

Дробно-рациональное неравенство

Решите неравенство

x ⩽ \frac{64}{x} .

ПРИМЕР 3

Система уравнений

Решите систему уравнений ${x^{2} + y = 5, 6 x^{2} - y = 2.$

Что важно помнить

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Порог отметки на ОГЭ

Задание 20 — алгебра, но помни про правило всего экзамена: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов за геометрию (задания 15-19 и 23-25). Одной алгеброй порог не закрыть — не пропускай геометрию, даже если задание 20 даётся легко.

✓СОВЕТ

Стратегия на задании 20

Время: 5-8 минут. Это первое задание второй части, самое доступное — бери его в первую очередь.
Оформление решают баллы: записывай каждый шаг, приводи разложение на множители, а не «в уме». Проверяющий должен видеть логику.
Быстрая самопроверка: подставь найденный корень в исходное уравнение — если равенство сошлось, корень верный.
Не теряй корни и знаки: $x = \pm a$ — это всегда два значения; в неравенстве следи за круглыми и квадратными скобками.

Отработка

Закрепи тему на живых задачах банка:

Все задачи типа: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-20
Подборки по подтемам:
- Уравнения — коллекция topic-uravneniya-20-oge
- Неравенства — коллекция topic-neravenstva-20-oge
- Системы уравнений — коллекция topic-sistemy-uravneniy-20-oge