Углы

Углы (Задание 23)

В конспекте по всему заданию 23 мы прошлись по четырём сюжетам — треугольники, четырёхугольники, окружности и углы. Здесь берём именно углы, и сразу важная мысль: в задании 23 угол почти никогда не бывает самоцелью. Он работает как ключ.

Смотри, что даёт угол в задаче на вычисление:

• Равные углы (накрест лежащие при параллельных, вертикальные, вписанные на одну дугу) открывают подобие — а подобие уже считает длины.

• Известный угол плюс радиус описанной окружности связываются теоремой синусов: сторона $=2R\sin$ угла.

• Прямой угол превращает сторону в катет и запускает $\sin \text{,}$ $\cos \text{,}$ теорему Пифагора.

• И только иногда угол просят найти напрямую — тогда работают сумма углов и свойства окружности.

Поэтому в 23-м задании привычка «посчитать все углы, какие получается» окупается: чертёж, на котором расставлены градусы и отмечены равные углы, часто решается сам собой.

Приём 1. Углы при параллельных прямых

Самый частый источник равных углов в задании 23 — параллельность. Она почти всегда спрятана в условии: основания трапеции, противоположные стороны параллелограмма и ромба, средняя линия, фраза «прямая, параллельная стороне $AC$», «отрезки лежат на параллельных прямых».

ВАЖНОЕ

Углы при параллельных прямых и секущей

Если $a\parallel b$ и прямая $c$ пересекает обе:

• накрест лежащие углы равны: $\angle 1=\angle 2\text{;}$

• соответственные углы равны: $\angle 1=\angle 4\text{;}$

• односторонние углы в сумме дают $180^{\circ }\text{:}$ $\angle 1+\angle 3=180^{\circ }\text{.}$

Плюс независимо от параллельности: вертикальные углы равны, смежные дают в сумме $180^{\circ }\text{.}$

Приём 2. Сумма углов и её следствия

Из суммы углов треугольника вытекают три вещи, которые в задании 23 используются постоянно:

• Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; знаешь угол при вершине $\beta$ — угол при основании равен $\frac{180^{\circ }-\beta }{2}\text{.}$

• В прямоугольном треугольнике два острых угла дают в сумме $90^{\circ }\text{.}$

Приём 3. Углы в окружности

Здесь живут самые «богатые» углы: один известный угол вытягивает за собой половину чертежа.

ВАЖНОЕ

Вписанный и центральный угол

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

$${\angle }_{\text{впис}}=\frac{1}{2}{\angle }_{\text{центр}}.$$

Следствия, которые и решают задачи:

• вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой;

• вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ }\text{;}$

• у четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны $180^{\circ }\text{;}$

• касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Приём 4. От угла к стороне

Когда углы посчитаны, наступает вторая половина задачи: перевести градусы в длины. На ОГЭ для этого есть ровно три моста.

Как решать

Разбор задач из банка

Три задачи, в которых угол — рабочий инструмент: сначала он даёт сторону через теорему синусов, потом подобие, потом — косинус и радиус.

Что запомнить

• Угол в задании 23 — инструмент: равные углы $\to$ подобие, известный угол $\to$ теорема синусов, прямой угол $\to$ $\sin \text{,}$ $\cos$ и Пифагор.

• Параллельные прямые дают равные накрест лежащие и соответственные углы, а односторонние — сумму $180^{\circ }\text{.}$

• В окружности: вписанный $=$ половина центрального на ту же дугу, на диаметр $=90^{\circ }\text{,}$ во вписанном четырёхугольнике противоположные углы дают $180^{\circ }\text{.}$

• Из справочных материалов доступны сумма углов $180^{\circ }(n-2)\text{,}$ теоремы синусов и косинусов, основное тождество и таблица значений. Углы при параллельных, свойства окружности и свойство биссектрисы — только наизусть.

• Каждое равенство углов в чистовике объясняй словами — за обоснование и дают эти 2 балла.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: Задание 23 — геометрические задачи на вычисление.

Подборка именно по углам — коллекция «Углы».

Смежные подтемы, где углы работают в паре с длинами: Треугольники и Четырёхугольники.