Задание 23: Геометрические задачи на вычисление — ОГЭ

Геометрические задачи на вычисление (Задание 23)

Задание 23 открывает геометрический блок второй части ОГЭ — той части, где мало написать ответ, надо показать полное решение с обоснованием. Но пугаться не стоит: 23-е задание самое дружелюбное из трёх геометрических (23–25). Это задача на вычисление — тебе дают фигуру с числами и просят найти длину, угол или площадь. Никаких хитрых доказательств, как в 24-м или 25-м: чаще всего всё сводится к одной-двум школьным формулам и аккуратной арифметике.

Весь секрет в том, чтобы узнать в условии знакомую конструкцию. Прямоугольный треугольник — значит, работает теорема Пифагора. Две параллельные прямые и пересекающиеся отрезки — почти наверняка подобие. Хорда и центр окружности — сразу вспоминай про перпендикуляр из центра. Ниже разберём все четыре сюжета, которые встречаются в задании 23.

Подтемы этого типа:

Углы (oge-math-topic-ugly-23) — сумма углов, вписанные и центральные углы, углы между хордами и касательными.
Треугольники (oge-math-topic-treugolniki-23) — Пифагор, площадь, подобие, средняя линия.
Четырёхугольники (oge-math-topic-chetyrehugolniki-23) — параллелограмм, ромб, трапеция, их высоты и площади.
Окружности (oge-math-topic-okruzhnosti-23) — хорды, касательные, радиус, вписанные фигуры.

Четыре сюжета задания 23: прямоугольный треугольник, ромб с высотой, подобные треугольники, хорда в окружности

iЗАМЕЧАНИЕ

Сколько это стоит и почему нельзя пропускать

Задание 23 оценивается в 2 балла. Для ОГЭ по математике это критично: чтобы получить отметку выше «двойки», по действующим правилам нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию (задания 15–19 первой части и 23–25 второй). Одно полностью решённое задание 23 закрывает этот порог целиком. Поэтому геометрию нельзя пропускать «на потом» — 23-е задание часто самый простой способ добрать нужные геометрические баллы.

Инструменты: формулы, которые надо узнавать

Большинство этих формул есть в справочных материалах, которые тебе выдадут на самом экзамене вместе с вариантом. Учить их наизусть до буквы не обязательно — но надо мгновенно понимать, какую из них применить.

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Отсюда катет: $a = c^{2} - b^{2} .$

Прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c

Теорема Пифагора есть в справочных материалах КИМ — но это та формула, которую всё равно стоит знать как таблицу умножения: она нужна почти в каждом втором задании 23.

ВАЖНОЕ

Площади фигур

S_{△} = \frac{1}{2} ah S_{параллелограмма} = ah S_{трапеции} = \frac{a + b}{2} h

где $h$ — высота (перпендикуляр), $a,$ $b$ — стороны или основания. Все три формулы есть в справочных материалах.

ВАЖНОЕ

Средняя линия

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине; средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

m_{△} = \frac{a}{2} m_{трап} = \frac{a + b}{2}

Тоже есть в справочных материалах.

ВАЖНОЕ

Окружность: длина и площадь круга

C = 2 π R S_{круга} = π R^{2}

Обе формулы есть в справочных материалах.

Следующие факты в справочный лист не входят — их надо знать твёрдо, потому что именно на них строятся «хитрые» задачи 23.

iЗАМЕЧАНИЕ

Подобие треугольников

Если у двух треугольников равны два угла, они подобны, и все их сходственные стороны пропорциональны с одним коэффициентом $k :$

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}} = k

Типичный источник подобия на ОГЭ — параллельные прямые (накрест лежащие углы) плюс вертикальные углы.

iЗАМЕЧАНИЕ

Свойства окружности

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Соединив центр $O,$ середину хорды и её конец, всегда получаешь прямоугольный треугольник с гипотенузой $R .$
Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Угол, опирающийся на диаметр, — прямой ( $9 0^{\circ}$ ).

Как подступиться к задаче

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 23

1. Сделай чертёж и отметь на нём все данные. Даже если картинка есть в условии — перерисуй и подпиши каждое число. Половина решения «видна» на аккуратном чертеже.
2. Найди знакомую конструкцию. Прямой угол или высота — Пифагор или площадь. Параллельные прямые и пересечение — подобие. Хорда/касательная/радиус — свойства окружности.
3. Дострой прямоугольный треугольник, если его нет напрямую: опусти высоту, соедини центр с серединой хорды, проведи радиус в точку касания.
4. Запиши уравнение (теорему Пифагора, пропорцию подобия, равенство двух формул площади) и реши его.
5. Проверь ответ на здравый смысл и запиши в требуемом виде. В конце обязательно словами: «Ответ: …».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки ОГЭ

Гипотенуза — всегда напротив прямого угла и самая длинная. В теореме Пифагора её нельзя путать с катетом: катет ищем через вычитание ( $a = c^{2} - b^{2}$ ), а не сложение.
Десятичный ответ пиши через запятую: $12, 5,$ а не $12.5$ и не $\frac{25}{2} .$ Если получилось нецелое — это нормально, ОГЭ такое допускает.
Единицы. Если стороны в сантиметрах, площадь — в квадратных сантиметрах. Но в ответ 23-го задания вписывают только число, без «см».
Во второй части баллы дают за обоснование. Мало написать « $A H = 20$ » — нужно объяснить, почему треугольник прямоугольный и откуда взялась каждая формула. Голый ответ без решения = 0 баллов.

Разбор задач из банка

Три примера ниже — реальные задачи нашего банка ОГЭ, по одной на каждый ключевой сюжет: четырёхугольник, подобие, окружность.

ПРИМЕР 1

Высота ромба через Пифагор

Высота $A H$ ромба $A B C D$ делит сторону $C D$ на отрезки $D H = 21$ и $C H = 8 .$ Найдите высоту ромба.

Ромб ABCD с высотой AH, опущенной на сторону CD

ПРИМЕР 2

Подобие при параллельных прямых

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M .$ Найдите $M C,$ если $A B = 16,$ $D C = 24,$ $A C = 25 .$

Две параллельные прямые с отрезками AB и DC, диагонали пересекаются в точке M

ПРИМЕР 3

Расстояние от центра до хорды

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $C D,$ если $A B = 14,$ $C D = 48,$ а расстояние от центра окружности до хорды $A B$ равно $24 .$

Окружность с двумя хордами и перпендикулярами из центра к ним

Что запомнить

Задание 23 — на вычисление: узнал конструкцию, применил формулу, оформил с обоснованием.
Прямой угол или высота $\to$ теорема Пифагора или площадь. Параллельные прямые $\to$ подобие. Хорда/касательная $\to$ прямоугольный треугольник с радиусом-гипотенузой.
Многие формулы есть в справочном листе — пользуйся им, но Пифагор, площади и свойства окружности держи в голове.
Полное решение с пояснениями = 2 балла, а эти 2 балла закрывают геометрический порог отметки.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: Задание 23 — геометрические задачи на вычисление.

Разбор по подтемам — коллекции: