Углы (Задание 15)
Этот подвид задания 15 — самый быстрый. Тебе дают треугольник с одним-двумя известными углами и просят найти ещё один угол: внутренний, внешний или угол при основании. Никаких сторон, площадей и корней — только градусы. Почти всё держится на одном факте (сумма углов равна 180∘) плюс паре его следствий. Реши эту задачу за минуту — и геометрический балл уже в кармане.
В конспекте по всему заданию 15 сумму углов мы уже упоминали. Здесь разберём именно «угловые» ситуации подробнее: внешний угол в двух видах, углы равнобедренного треугольника и углы в прямоугольном — потому что в реальных вариантах ОГЭ спрашивают чаще всего именно их.
iЗАМЕЧАНИЕ
Что нужно из справочных материалов
В выданном на экзамене листе есть только формула суммы углов выпуклого n-угольника: 180∘(n−2). Треугольник — это случай n=3, поэтому его сумма углов равна 180∘⋅(3−2)=180∘. Остальные приёмы этого конспекта (внешний угол, углы равнобедренного) в справочных материалах КИМ не записаны — их надо помнить.
Сумма углов и как из неё всё вытекает
ВАЖНОЕ
Сумма углов треугольника
∠A+∠B+∠C=180∘Знаешь любые два угла — третий находится вычитанием: ∠C=180∘−∠A−∠B.
ВАЖНОЕ
Внешний угол треугольника
Внешний угол получается, если продолжить одну из сторон за вершину. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:
∠внеш=∠A+∠BА со своим внутренним углом (при той же вершине) внешний угол в сумме даёт развёрнутый угол:
∠внеш+∠C=180∘
✓СОВЕТ
Два способа найти внешний угол — выбирай по данным
Дан внутренний угол при той же вершине — вычитай из 180∘: ∠внеш=180∘−∠C. Даны два дальних угла — просто сложи их: ∠внеш=∠A+∠B. Оба способа дают одно и то же — это следствие того, что сумма всех углов равна 180∘.
Углы равнобедренного треугольника
ВАЖНОЕ
Углы при основании равны
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой. Если угол при вершине равен β, то каждый угол при основании равен:
∠осн=2180∘−βА если известен угол при основании α, то угол при вершине равен 180∘−2α.
Углы прямоугольного треугольника
ВАЖНОЕ
Острые углы дают в сумме 90°
Один угол прямой (90∘), значит на два острых угла остаётся ровно 90∘:
∠A+∠B=90∘Знаешь один острый угол — второй равен 90∘ минус первый.
iЗАМЕЧАНИЕ
Больший угол — против большей стороны
Против большей стороны треугольника лежит больший угол, против равных сторон — равные углы. Это помогает, когда в условии сравнивают стороны, а спрашивают про углы (или наоборот).
Алгоритм
АЛГОРИТМ
Как найти угол в задании 15
1. Определи, что за угол ищут — внутренний, внешний или при основании.
2. Отметь известные углы на чертеже. Ищи «спрятанные» равенства: равнобедренный треугольник (равны углы при основании), прямой угол (квадратик), развёрнутый угол вдоль прямой (180∘).
3. Подбери приём: внутренний угол — 180∘ минус два других; внешний — сумма двух дальних или 180∘ минус смежный; угол равнобедренного — через 2180∘−β или 180∘−2α.
4. Посчитай и запиши только число — без знака градуса.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Типовые ловушки этого подвида
- В бланк — только число. Ответ «71», а не «71∘» и не «71 градус».
- Внешний угол — это не внутренний. Если спрашивают внешний угол, а дан внутренний при той же вершине, обязательно вычти из 180∘: за ∠C=159∘ внешний равен 21∘, а не 159∘.
- Смежный или несмежный. Внешний угол равен сумме двух дальних внутренних, а со своим (смежным) внутренним даёт 180∘. Не сложи по ошибке внешний со смежным как «дальние».
- В равнобедренном равны углы при основании, а не при вершине. Не приравнивай к углу при вершине.
iЗАМЕЧАНИЕ
Почему этот балл нельзя отдавать
На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и геометрия второй части). Угловая задача 15 — самый дешёвый геометрический балл: одно-два вычитания. Пропускать её нет причин.
Примеры решения задач
Все три — из нашего банка ОГЭ.
ПРИМЕР 1
Третий угол треугольника
В треугольнике два угла равны 36∘ и 73∘. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
ПРИМЕР 2
Внешний угол при вершине
В треугольнике ABC угол C равен 159∘. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
ПРИМЕР 3
Внешний угол — тот же приём
В треугольнике ABC угол C равен 97∘. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Что запомнить
- Сумма углов треугольника — 180∘ (случай n=3 формулы 180∘(n−2) из справочных материалов). Два угла знаешь — третий вычитаешь.
- Внешний угол: равен сумме двух дальних внутренних или 180∘ минус смежный с ним внутренний.
- Равнобедренный: углы при основании равны; ∠осн=2180∘−β.
- Прямоугольный: два острых угла в сумме дают 90∘.
- Формат: в бланк только число, без знака градуса.
Отработка
Прорешай все задачи этого типа в банке: задание 15.
Задачи именно на углы — в коллекции топика: Углы.