Задание 15: Треугольники и их элементы — ОГЭ

Треугольники и их элементы (Задание 15)

Задание 15 — это вход в геометрию первой части ОГЭ. Почти всегда тебе дают чертёж треугольника с несколькими числами и просят найти ещё одну величину: угол, сторону, площадь или значение синуса, косинуса, тангенса. Ничего громоздкого здесь нет — задача решается в одно-два действия, если ты знаешь несколько базовых фактов о треугольнике.

Разберём подтемы, которые встречаются в этом задании: углы треугольника, треугольники общего вида, равнобедренные треугольники и прямоугольный треугольник. По каждой — свой набор формул, но все они держатся на нескольких простых идеях.

Треугольник с обозначениями вершин, сторон и углов

iЗАМЕЧАНИЕ

Договоримся об обозначениях

Вершины треугольника обозначают большими буквами ( $A,$ $B,$ $C$ ), стороны — малыми. Важное правило: сторона называется той же буквой, что и противолежащий ей угол. Сторона $a$ лежит напротив угла $A,$ сторона $b$ — напротив $B,$ сторона $c$ — напротив $C .$ Это пригодится в каждой формуле ниже.

Углы треугольника

Главный факт про углы ты используешь чаще всего.

ВАЖНОЕ

Сумма углов треугольника

Сумма всех трёх углов любого треугольника равна $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}

Три угла треугольника в сумме дают развёрнутый угол

ВАЖНОЕ

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника (смежный с одним из внутренних) равен сумме двух других внутренних углов:

∠_{внеш} = ∠ A + ∠ B

Треугольники общего вида

Здесь важны две вещи: как связаны стороны и углы и как искать площадь.

ВАЖНОЕ

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

ВАЖНОЕ

Площадь через сторону и высоту

Площадь треугольника равна половине произведения основания на проведённую к нему высоту:

S = \frac{1}{2} a h_{a}

ВАЖНОЕ

Площадь через две стороны и угол между ними

Если известны две стороны и угол между ними, площадь равна:

S = \frac{1}{2} a b sin γ

где $γ$ — угол между сторонами $a$ и $b .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Формулы площади есть в справочных материалах

Формула $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ и таблица площадей фигур будут в справочном листе, который выдают на экзамене. Учить их наизусть не обязательно — но надо уметь мгновенно ими пользоваться и понимать, где какая сторона.

Равнобедренный треугольник

ВАЖНОЕ

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике две стороны (боковые) равны, а углы при основании равны между собой:

∠ A = ∠ C

Равнобедренный треугольник с равными боковыми сторонами и равными углами при основании

✓СОВЕТ

Три в одном

В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые из вершины между равными сторонами, — это одна и та же линия. Она делит основание пополам и перпендикулярна ему. Этот факт часто спасает: он превращает равнобедренный треугольник в два одинаковых прямоугольных.

Прямоугольный треугольник

Самый частый гость задания 15. У него один угол прямой ( $9 0^{\circ}$ ); две стороны при прямом угле — катеты, а сторона напротив прямого угла — гипотенуза (она всегда самая длинная).

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Формула есть в справочных материалах ОГЭ.

ВАЖНОЕ

Площадь прямоугольного треугольника

Катеты сами служат основанием и высотой, поэтому площадь — половина их произведения:

S = \frac{1}{2} a b

где $a$ и $b$ — катеты.

ВАЖНОЕ

Синус, косинус и тангенс острого угла

Для острого угла прямоугольного треугольника:

sin α = \frac{противолежащий катет}{гипотенуза}, cos α = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза}, t g α = \frac{противолежащий катет}{прилежащий катет}

✓СОВЕТ

Как не перепутать sin, cos и tg

Смотри всегда от того угла, о котором спрашивают. Противолежащий катет — тот, что «напротив» угла и его не касается. Прилежащий — тот, что образует этот угол вместе с гипотенузой. Синус и косинус делят на гипотенузу, тангенс — катет на катет.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подступиться к задаче 15

1. Разберись, что за треугольник. Есть прямой угол — работают Пифагор и тригонометрия острого угла. Отмечены равные стороны или углы — равнобедренный, значит углы при основании равны. Ничего особого — общий треугольник.
2. Выпиши, что дано и что найти. Отметь числа прямо на чертеже: какие стороны, какие углы известны.
3. Подбери формулу под вопрос. Ищут угол — сумма углов $18 0^{\circ} .$ Ищут площадь — половина основания на высоту (или $\frac{1}{2} ab sin γ$ ). Ищут сторону — теорема Пифагора. Ищут $sin / cos / t g$ — определение через катеты и гипотенузу.
4. Посчитай и проверь формат ответа. Углы — в градусах, длины и площади — числом, $sin / cos / t g$ — часто десятичная дробь.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки ОГЭ

Формат ответа. В бланк пишут только число, без единиц и без знака градуса: ответ « $68$ », а не « $6 8^{\circ}$ » и не «68 градусов».
Десятичная дробь — через запятую. Пиши $0, 2,$ а не $0.2$ и не $\frac{1}{5} .$ Если ответ получился дробью — переведи в десятичную.
Не путай катеты с гипотенузой. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда длиннее любого катета. В формуле площади перемножают именно катеты.
Синус — не всегда «первое делить на второе». Всегда смотри, какой катет противолежащий, а какой прилежащий именно для нужного угла.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему геометрию нельзя пропускать

На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и геометрические задания второй части № 23–25). Задание 15 — самый лёгкий способ взять геометрический балл, поэтому его пропускать нельзя.

Примеры решения задач

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, от самой простой к составной.

ПРИМЕР 1

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $5 4^{\circ}$ и $5 8^{\circ} .$ Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

ПРИМЕР 2

Тангенс острого угла

В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $9 0^{\circ},$ $B C = 15,$ $A C = 3 .$ Найдите $t g B .$

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C

ПРИМЕР 3

Площадь через две стороны и синус угла

В треугольнике $A B C$ известно, что $A B = 20,$ $B C = 7,$ $sin ∠ A B C = \frac{2}{5} .$ Найдите площадь треугольника $A B C .$

Треугольник ABC с вершиной B и основанием AC

Что запомнить

Углы: сумма трёх углов треугольника всегда $18 0^{\circ} .$ Знаешь два — третий находится вычитанием.
Площадь: $\frac{1}{2} a h_{a}$ (сторона на высоту к ней) или $\frac{1}{2} ab sin γ$ (две стороны на синус угла между ними). Обе есть в справочных материалах.
Прямоугольный треугольник: гипотенуза напротив прямого угла; Пифагор $c^{2} = a^{2} + b^{2};$ площадь — половина произведения катетов.
Тригонометрия: синус и косинус делят катет на гипотенузу, тангенс — катет на катет. Всегда смотри от нужного угла.
Формат: число без единиц, десятичная дробь через запятую.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: задание 15.

Отдельные подтемы — коллекции по топикам: