Центральные и вписанные углы — ОГЭ

Центральные и вписанные углы (Задание 16)

Внутри задания 16 это самая частая и самая «алгоритмичная» подтема. Тебе дают окружность, на ней отмечены точки, проведены хорды или диаметры — и просят найти какой-то угол в градусах. Отдельных вычислений тут почти нет: всё решается связкой двух-трёх фактов про углы, опирающиеся на одну дугу. Научишься быстро узнавать эти конфигурации — и задание 16 станет для тебя гарантированной минутной задачей.

В конспекте типа мы уже собрали общую картину задания 16. Здесь идём вглубь только по углам: разберём, как центральный угол связан с вписанным, почему вписанные углы на одну дугу равны, что даёт вписанный четырёхугольник, — и прогоним это на реальных задачах банка.

Главная связка: центральный и вписанный

У обоих углов вершины разные, но «смотрят» они на одну и ту же дугу.

Центральный угол — вершина в центре $O,$ стороны — два радиуса.
Вписанный угол — вершина на самой окружности, стороны — две хорды.

ВАЖНОЕ

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу:

∠_{вписанный} = \frac{1}{2} ∠_{центральный} .

Центральный и вписанный угол на одну дугу

iЗАМЕЧАНИЕ

Эти теоремы в справочный лист НЕ входят

В справочных материалах ОГЭ, которые тебе выдадут на экзамене, свойств вписанного и центрального углов нет — там только теоремы синусов, косинусов, Пифагора и таблицы. Значит связку «центральный $= 2 \times$ вписанного» и всё, что ниже, надо знать наизусть.

Три следствия, которыми решается почти всё

ВАЖНОЕ

Вписанные углы на одну дугу равны

Если два (и больше) вписанных угла опираются на одну и ту же дугу, они равны — ведь каждый равен половине одного и того же центрального угла:

∠ A C B = ∠ A D B .

Вписанные углы на одну дугу равны; угол на диаметр прямой

ВАЖНОЕ

Вписанный четырёхугольник

Если четырёхугольник вписан в окружность (все четыре вершины лежат на ней), то суммы его противоположных углов равны $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}, ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ} .

Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов 180 градусов

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на углы в окружности

1. Найди опорную дугу или хорду. Почти в каждой задаче есть угол, который тебе дан, и угол, который нужен, — посмотри, на какую дугу опирается каждый.
2. Если оба угла вписанные и опираются на одну дугу — они равны, ответ почти готов.
3. Если один угол центральный, другой вписанный на ту же дугу — раздели или умножь на 2.
4. Увидел диаметр — вспомни про прямой угол ( $9 0^{\circ}$ ) и про то, что точки $B, O, D$ на диаметре лежат на одной прямой (смежные и вертикальные углы).
5. Спрятался равнобедренный треугольник? Два радиуса $O A = O B = R$ дают равнобедренный треугольник — используй равенство углов при основании и сумму углов $18 0^{\circ} .$
6. Вписанный четырёхугольник — примени «сумма противоположных $= 18 0^{\circ}$ », часто через вспомогательный треугольник по диагонали.
7. Запиши ответ числом без слова «градусов».

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Где здесь теряют баллы

Путают, что делить, а что умножать. Вписанный меньше центрального вдвое: вписанный $=$ центральный \text{:} $2$ . Если ищешь центральный по вписанному — умножай.
«Одна и та же дуга» — обязательное условие. Углы равны/связаны, только если опираются на одну дугу (одну хорду с одной стороны). На разные дуги правило не работает.
Диаметр $=$ прямая. Если $A C$ и $B D$ — диаметры, то $A, O, C$ и $B, O, D$ лежат на прямых: это даёт смежные ( $18 0^{\circ}$ ) и вертикальные (равные) углы. Про это часто забывают.
Ответ — число без единиц. Угол $6 6^{\circ}$ пиши в бланк как 66, без слова «градусов» и без значка.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему геометрию нельзя пропускать

На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и вторая часть). Задание 16 на углы — один из самых доступных геометрических баллов, поэтому именно с него удобно начинать «добирать» геометрию.

Разбор задач из банка

Три задачи от простой к составной: равные вписанные углы, вписанный четырёхугольник и связка «центральный — вписанный» через равнобедренный треугольник.

ПРИМЕР 1

Углы на одну дугу

Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A B D$ равен $2 5^{\circ},$ угол $C A D$ равен $4 1^{\circ} .$ Найдите угол $A B C .$ Ответ дайте в градусах.

ПРИМЕР 2

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность. Угол $A B C$ равен $9 2^{\circ},$ угол $C A D$ равен $6 0^{\circ} .$ Найдите угол $A B D .$ Ответ дайте в градусах.

ПРИМЕР 3

Диаметры и равнобедренный треугольник

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $A C$ и $B D$ — диаметры. Угол $A O D$ равен $11 4^{\circ} .$ Найдите угол $A C B .$ Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O и двумя диаметрами AC и BD

Что запомнить

Ядро темы: вписанный угол $=$ половина центрального на ту же дугу.
Равные углы: все вписанные углы на одну дугу равны между собой.
Диаметр: вписанный угол на диаметр $= 9 0^{\circ};$ концы диаметра с центром лежат на прямой (смежные, вертикальные углы).
Вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов $= 18 0^{\circ} .$
Всех этих свойств нет в справочном листе — учи наизусть.

Отработка

Прорешай задачи по теме в банке: все задачи типа 16.

Целевая подборка именно по углам: Центральные и вписанные углы.

Доведи узнавание конфигураций до автоматизма: увидел два вписанных угла на одну дугу — они равны; увидел диаметр — ищи прямой угол; дан вписанный четырёхугольник — вспомни про $18 0^{\circ} .$ Тогда угол в окружности ты будешь находить за одно-два действия.