Задание 16: Окружность, круг и их элементы — ОГЭ

Окружность, круг и их элементы (Задание 16)

Задание 16 — вторая геометрическая задача первой части ОГЭ. Тебе дают чертёж с окружностью и просят найти угол, длину, радиус или площадь. Как и в задании 15, решение почти всегда занимает одно-два действия — надо лишь узнать на картинке знакомую конфигурацию и вспомнить один факт про окружность.

Разберём подтемы, которые встречаются в этом задании: центральные и вписанные углы, касательная, хорда, секущая и радиус, окружность, вписанная в многоугольник, и окружность, описанная вокруг многоугольника. Все они держатся на нескольких простых свойствах, которые мы сейчас и соберём.

Основные элементы окружности: центр, радиус, диаметр, хорда, дуга, касательная и секущая

iЗАМЕЧАНИЕ

Договоримся о словах

Окружность — линия, все точки которой равноудалены от центра. Круг — часть плоскости внутри окружности (то, что «закрашено»). Радиус $R$ (или $r$ ) — отрезок от центра до окружности; диаметр $d = 2 R$ — хорда, проходящая через центр. Хорда соединяет две точки окружности, дуга — часть самой окружности между ними.

Длина окружности и площадь круга

Две базовые формулы, с которых начинается тема.

ВАЖНОЕ

Длина окружности и площадь круга

C = 2 π R S = π R^{2}

Здесь $C$ — длина окружности (сама линия), $S$ — площадь круга (закрашенная часть), $R$ — радиус.

Центральные и вписанные углы

Это самая частая подтема задания 16. Всё строится на связи двух углов, опирающихся на одну и ту же дугу.

ВАЖНОЕ

Центральный и вписанный угол

Центральный угол (вершина — в центре $O$ ) вдвое больше вписанного угла (вершина — на окружности), если они опираются на одну и ту же дугу:

∠_{центр} = 2 ∠_{вписанный}

Центральный и вписанный угол, опирающиеся на одну дугу

iЗАМЕЧАНИЕ

Вписанные углы на одну дугу равны

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или хорду с одной стороны), равны между собой — ведь каждый из них равен половине одного и того же центрального угла.

Свойства центрального и вписанного углов в справочном листе КИМ не приводятся — это теоремы, их надо знать. Но помнить придётся всего одно правило: центральный вдвое больше вписанного на ту же дугу.

Касательная, хорда, секущая и радиус

ВАЖНОЕ

Касательная перпендикулярна радиусу

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания:

∠ (касательная, R) = 9 0^{\circ}

Касательная перпендикулярна радиусу; две касательные из одной точки равны

✓СОВЕТ

Свойство двух касательных

Отрезки двух касательных, проведённых к окружности из одной внешней точки, равны между собой. Это часто помогает, когда в задаче фигура «обёрнута» вокруг окружности.

Окружность, вписанная в многоугольник

Вписанная окружность лежит внутри фигуры и касается всех её сторон. Центр — в точке пересечения биссектрис углов.

ВАЖНОЕ

Вписанная окружность в квадрат

Если окружность радиуса $r$ вписана в квадрат, она касается всех четырёх сторон, поэтому сторона квадрата равна диаметру:

a = 2 r

Окружность, вписанная в квадрат, касается всех четырёх сторон

iЗАМЕЧАНИЕ

Про площади в справочном листе

Площади многих фигур (параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба) и площадь круга $S = π R^{2}$ есть в справочных материалах — их не нужно выводить, достаточно правильно подставить. Площадь квадрата $S = a^{2}$ отдельной строкой в листе не выделена, но её просто помнить (это частный случай прямоугольника со стороной $a$ ).

Окружность, описанная вокруг многоугольника

Описанная окружность проходит через все вершины фигуры. Центр — в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

ВАЖНОЕ

Прямоугольник, вписанный в окружность

Диагональ прямоугольника — это диаметр описанной окружности:

диагональ = 2 R

Причина: угол прямоугольника равен $9 0^{\circ},$ а прямой вписанный угол всегда опирается на диаметр.

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подступиться к задаче 16

1. Найди на чертеже опору. Что дано: центр, диаметр, хорда, касательная, вписанный или центральный угол? От этого зависит нужное свойство.
2. Свяжи данное с искомым одним фактом. Углы на одну дугу (центральный $= 2 \times$ вписанного), угол на диаметр $= 9 0^{\circ},$ касательная $⊥$ радиусу, диагональ прямоугольника $=$ диаметр.
3. Отработай вспомогательный треугольник. Часто внутри окружности прячется равнобедренный ( $O A = O B = R$ ) или прямоугольный треугольник — примени сумму углов или теорему Пифагора.
4. Посчитай и проверь формат ответа — целое число, десятичная дробь через запятую, или угол в градусах (без слова «градусов»).

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа и единицы

Углы — в градусах, но без слова «градусов»: если ответ $13 4^{\circ},$ в бланк пиши только 134.
Не путай длину и площадь. $C = 2 π R$ — это линия, $S = π R^{2}$ — площадь. Часто в ответе просят оставить $π$ или, наоборот, подставить $π \approx 3, 14$ — читай условие.
Радиус и диаметр — разные вещи. Диаметр вдвое больше радиуса; в формулу площади $π R^{2}$ идёт именно радиус.
Десятичный ответ — через запятую: $12, 5,$ а не 12.5.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему геометрию нельзя пропускать

На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и вторая часть). Задание 16 — один из самых доступных геометрических баллов, поэтому его пропускать нельзя.

Примеры решения задач

Три задачи ниже покрывают три разные подтемы: угол, вписанную и описанную окружность.

ПРИМЕР 1

Вписанный и центральный угол

Отрезки $A C$ и $B D$ — диаметры окружности с центром в точке $O .$ Угол $A C B$ равен $2 3^{\circ} .$ Найдите угол $A O D .$ Ответ дайте в градусах.

Окружность с центром O; AC и BD — диаметры, пересекающиеся в O

ПРИМЕР 2

Квадрат, описанный около окружности

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса $9 .$

ПРИМЕР 3

Прямоугольник, вписанный в окружность

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен $0, 8 .$ Диаметр описанной около него окружности равен $5 .$ Найдите площадь прямоугольника.

Что запомнить

Углы на одну дугу: центральный $= 2 \times$ вписанного; угол на диаметр $= 9 0^{\circ} .$
Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; две касательные из точки равны.
Вписанная окружность касается сторон (для квадрата $a = 2 r$ ); описанная проходит через вершины (диагональ прямоугольника $= 2 R$ ).
Из справочного листа: длина окружности $C = 2 π R,$ площадь круга $S = π R^{2},$ площади фигур и теорема Пифагора. Свойства углов — учить наизусть.

Отработка

Прорешай задания этого типа в банке: задачи типа 16.

Отдельные подборки по подтемам:

Цель — довести узнавание конфигураций до автоматизма: увидел диаметр — вспомнил про прямой угол, увидел касательную — провёл радиус. Тогда задание 16 будет приносить стабильный балл за минуту.