Треугольники общего вида — ОГЭ

Треугольники общего вида (Задание 15)

Это подтип задания 15 про треугольник, у которого нет ни прямого угла, ни равных сторон — обычный, «общего вида». Опереться на теорему Пифагора или на равенство углов при основании тут нельзя, поэтому работают другие вещи: элементы треугольника (медиана, биссектриса, высота), средняя линия, площадь и отдельным сюжетом — правильный (равносторонний) треугольник с вписанной и описанной окружностью.

Хорошая новость: почти всё, что нужно, лежит в справочном листе, который выдают на экзамене. Задача обычно решается в одно-два действия — главное узнать элемент на чертеже и вспомнить его определение или формулу.

Три вида треугольников: равнобедренный, прямоугольный и общего вида

Треугольник ABC с проведёнными из вершины B медианой, биссектрисой и высотой

Элементы треугольника

В общем треугольнике медиана, биссектриса и высота из одной вершины — это три разные линии. Не путай их: в задаче важно, какой именно элемент проведён.

ВАЖНОЕ

Медиана

Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Значит, она делит эту сторону пополам:

A M = M C = \frac{A C}{2}

ВАЖНОЕ

Биссектриса

Биссектриса выходит из вершины и делит угол этой вершины на два равных:

∠ B A L = ∠ L A C = \frac{∠ B A C}{2}

ВАЖНОЕ

Высота

Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. С ней связана площадь: высота — это то, на что умножают основание.

✓СОВЕТ

Как узнать элемент на чертеже

Смотри, куда приходит линия и что отмечено. Пришла в середину стороны (равные штрихи на половинках) — медиана. Делит угол пополам (равные дуги у вершины) — биссектриса. Стоит под прямым углом к стороне (квадратик) — высота.

Средняя линия треугольника

Средняя линия соединяет середины двух сторон. Это самый частый гость этого подтипа.

ВАЖНОЕ

Средняя линия треугольника

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине:

M N = \frac{A C}{2}

где $M N$ соединяет середины сторон $A B$ и $B C,$ а $A C$ — третья сторона.

Средняя линия MN треугольника ABC, параллельная стороне AC

iЗАМЕЧАНИЕ

Есть в справочных материалах

Формула средней линии треугольника есть в справочном листе ОГЭ. Учить наизусть не обязательно — но надо мгновенно узнавать её на чертеже и понимать, что средняя линия зависит только от той стороны, которой она параллельна.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Лишние данные — это ловушка, а не подсказка

Часто в условии дают длины всех трёх сторон, а спрашивают среднюю линию. Нужна только та сторона, которой средняя линия параллельна — остальные два числа лишние и в вычислении не участвуют. То же с медианой: её собственная длина для нахождения половины стороны не нужна.

Площадь треугольника общего вида

Когда прямого угла нет, площадь считают через высоту или через угол между сторонами.

ВАЖНОЕ

Площадь через сторону и высоту

S = \frac{1}{2} a h_{a}

где $a$ — сторона, $h_{a}$ — проведённая к ней высота.

ВАЖНОЕ

Площадь через две стороны и угол между ними

S = \frac{1}{2} a b sin γ

где $γ$ — угол между сторонами $a$ и $b .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Есть в справочных материалах

Обе формулы площади треугольника есть в справочном листе (раздел «Площади фигур»). Проверь только одно: угол в формуле с синусом должен быть заключён именно между теми двумя сторонами, что ты подставляешь.

Правильный треугольник

Правильный (равносторонний) треугольник — все стороны равны, все углы по $6 0^{\circ} .$ Для него в справочном листе есть отдельный набор формул, связывающих сторону $a$ с окружностями и высотой.

ВАЖНОЕ

Правильный треугольник со стороной a

R = \frac{a 3}{3} r = \frac{a 3}{6}

S = \frac{a ^{2} 3}{4} h = \frac{a 3}{2}

где $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — вписанной, $h$ — высота.

Правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R

iЗАМЕЧАНИЕ

Есть в справочных материалах

Все четыре формулы правильного треугольника ( $R,$ $r,$ $S,$ $h$ ) есть в справочном листе. Тебе остаётся подставить сторону или, наоборот, выразить её. Полезно помнить: $R = 2 r$ (радиус описанной вдвое больше радиуса вписанной).

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задачу этого подтипа

1. Найди на чертеже элемент. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия — определи по тому, что отмечено (середина, равные углы, прямой угол).
2. Вспомни определение или формулу. Медиана и средняя линия — это половина стороны; биссектриса — половина угла; площадь — половина основания на высоту (или $\frac{1}{2} ab sin γ$ ).
3. Отсеки лишние данные. Возьми только те числа, что входят в нужную формулу.
4. Посчитай и проверь формат. Углы — в градусах, длины и площади — числом.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки ОГЭ

Формат ответа. В бланк — только число: « $27$ », а не « $27$ см» и не « $2 4^{\circ}$ ».
Десятичная дробь — через запятую: $0, 5,$ а не $0.5;$ дробный ответ переводи в десятичную.
Не путай элементы. Медиана идёт в середину стороны, биссектриса делит угол, высота перпендикулярна стороне — это разные линии.
Средняя линия и медиана зависят от одной конкретной стороны; прочие данные в условии — лишние.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему геометрию нельзя пропускать

На ОГЭ действует порог: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и геометрия второй части). Задание 15 — самый простой способ взять геометрический балл, поэтому его не пропускают.

Примеры решения задач

Три задачи ниже — из нашего банка ОГЭ, от простой к составной.

ПРИМЕР 1

Медиана

В треугольнике $A B C$ известно, что $A C = 54,$ $B M$ — медиана, $B M = 43 .$ Найдите $A M .$

Треугольник ABC с медианой BM к стороне AC

ПРИМЕР 2

Средняя линия

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $A B$ и $B C$ треугольника $A B C,$ сторона $A B$ равна $21,$ сторона $B C$ равна $22,$ сторона $A C$ равна $28 .$ Найдите $M N .$

Треугольник ABC со средней линией MN, параллельной AC

ПРИМЕР 3

Правильный треугольник и описанная окружность

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $43 .$ Найдите длину стороны этого треугольника.

Равносторонний треугольник, вписанный в окружность

Что запомнить

Элементы разные: медиана — в середину стороны, биссектриса — пополам угол, высота — перпендикуляр к стороне.
Медиана и средняя линия дают половину стороны: $\frac{A C}{2} .$ Прочие числа в условии обычно лишние.
Площадь: $\frac{1}{2} a h_{a}$ или $\frac{1}{2} ab sin γ$ — обе есть в справочном листе.
Правильный треугольник: $R = \frac{a 3}{3},$ $r = \frac{a 3}{6},$ $S = \frac{a ^{2} 3}{4},$ $h = \frac{a 3}{2}$ — всё в справочном листе, $R = 2 r .$
Формат: число без единиц, десятичная дробь через запятую.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: задание 15.

Задачи именно на этот подтип — в коллекции Треугольники общего вида.