Треугольники и их элементы (Задание 24)
Это самая частая начинка задания 24: тебе дают треугольник с проведёнными высотами (реже — медианами или биссектрисами) и просят доказать либо подобие двух треугольников, либо равенство двух углов. Общий сценарий доказательства ты уже знаешь из конспекта задания 24 — здесь разберём то, что специфично именно для треугольников: как ведут себя основания высот и почему почти каждая такая задача сводится к одному из двух приёмов.
Хорошая новость: разброс сюжетов узкий. Освой две заготовки — «подобие через равный угол между пропорциональными сторонами» и «окружность на диаметре через основания двух высот» — и закроешь подавляющее большинство задач банка по этой теме.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Порог по геометрии — не пропускай
Для отметки выше «двойки» на ОГЭ нужно набрать не меньше 2 баллов за геометрию. Задание 24 стоит ровно 2 балла: одно аккуратное доказательство целиком закрывает порог. Треугольники — самая предсказуемая его часть, так что это короткий и надёжный путь к безопасной оценке.
Элементы треугольника, которые нужны для доказательств
- Высота — перпендикуляр из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Её основание (точка на стороне или её продолжении) — главный герой этой темы.
- Медиана — отрезок из вершины к середине противоположной стороны.
- Биссектриса — луч, делящий угол вершины пополам.
Обрати внимание на слово «прямая» в определении высоты: в остроугольном треугольнике основание высоты попадает на саму сторону, а в тупоугольном — на её продолжение за вершину. Этот нюанс полностью меняет чертёж, поэтому первым делом всегда определяй тип треугольника.
Инструменты именно этой темы
ВАЖНОЕ
Признаки подобия треугольников
Чтобы доказать △ABC∼△A1B1C1, достаточно одного признака:
1. По двум углам — два угла одного равны двум углам другого.
2. По двум сторонам и углу между ними — A1B1AB=B1C1BC и ∠B=∠B1.
3. По трём сторонам — три пары сторон пропорциональны.
В задачах про высоты почти всегда работает второй признак: находишь равный угол (часто вертикальный) и проверяешь пропорцию прилежащих к нему сторон.
ВАЖНОЕ
Признаки равенства треугольников
△ABC=△A1B1C1, если совпадают: две стороны и угол между ними (СУС); сторона и два прилежащих угла (УСУ); три стороны (ССС).
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Этих формул НЕТ в справочных материалах
Признаки подобия и признаки равенства треугольников, а также свойство угла, опирающегося на диаметр (см. ниже), в выданный на экзамене лист не входят — их нужно знать наизусть. А вот теорема синусов, теорема косинусов, средняя линия и формула площади треугольника (S=21aha=21absinγ) в справочных материалах КИМ есть — ими можно пользоваться без заучивания.
ВАЖНОЕ
Ключевой приём: окружность на диаметре через основания двух высот
Точка X лежит на окружности с диаметром PQ тогда и только тогда, когда отрезок PQ виден из неё под прямым углом:
∠PXQ=90∘⇔X на окружности с диаметром PQ.Проведены высоты из вершин B и C? Их основания видят сторону BC под прямым углом — значит, оба основания и вершины B, C лежат на одной окружности с диаметром BC. Дальше работают равные вписанные углы на общую дугу.
Алгоритм под этот подвид
АЛГОРИТМ
Как доказывать про треугольник с высотами
1. Определи тип треугольника. Остроугольный — основания высот на сторонах; тупоугольный — на продолжениях (углы станут смежными или вертикальными).
2. Крупный чертёж. Отметь прямые углы в основаниях высот, равные и вертикальные углы.
3. Опознай цель. Просят подобие — иди через второй признак (равный угол + пропорция сторон). Просят равенство углов — почти всегда это «окружность на диаметре» и равные вписанные углы.
4. Для окружности: два прямых угла на один отрезок ⇒ четыре точки на окружности с этим отрезком-диаметром ⇒ вписанные углы на одну дугу равны.
5. Оформи цепочкой. Каждый шаг — ссылка на теорему. Заверши фразой «Что и требовалось доказать».
Разбор задач
ПРИМЕР 1
Подобие в тупоугольном треугольнике
В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.
ПРИМЕР 2
Равные углы через окружность на диаметре
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
ПРИМЕР 3
Тот же приём, другая пара высот
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. Докажите, что углы CC1B1 и CBB1 равны.
Частые ошибки
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Неправильный чертёж в тупоугольном случае
В тупоугольном треугольнике основания высот выходят за сторону. Если нарисовать их внутри, углы получатся не смежными/вертикальными, и всё доказательство рассыплется. Сначала тип треугольника — потом чертёж.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Забытое «по одну сторону от хорды»
Равенство вписанных углов работает, только если их вершины лежат по одну сторону от хорды (на одной дуге). В остроугольном треугольнике это выполнено, но упомянуть условие в решении обязательно — иначе цепочка неполна.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Ответ — текст, а не число
В задании 24 нет числового ответа: результат — само доказательство. Записывай рассуждения полными фразами со ссылками на теоремы и заканчивай «Что и требовалось доказать». Ставят 2 балла за безупречную цепочку, 1 балл — с недочётом.
Что запомнить
- Сначала определи тип треугольника — от этого зависит, где основания высот.
- Просят подобие — второй признак: равный (часто вертикальный) угол + пропорция прилежащих сторон.
- Просят равенство углов — окружность на диаметре, равном соединяющей две «высотные» вершины стороне; дальше равные вписанные углы.
- Признаки подобия и равенства в справочный лист не входят — учи наизусть.
Отработка
Реши все задачи этого типа в банке: Задание 24 — задачи на доказательство.
Отрабатывай подтему целенаправленно через коллекцию: Треугольники и их элементы.