Задание 24: Геометрические задачи на… — ОГЭ

Геометрические задачи на доказательство (Задание 24)

Задание 24 — из второй части ОГЭ, той самой, за которую ставят баллы «руками», проверяя твоё решение целиком. Здесь тебя не просят найти число: тебя просят доказать утверждение. Например, что два угла равны, что два треугольника подобны или что четырёхугольник вписан в окружность. Ответом служит не число, а связная цепочка рассуждений, где каждый шаг опирается на известную теорему или свойство.

Звучит страшно, но у задания 24 есть добрая новость: почти все доказательства собираются из очень небольшого набора приёмов. Ты выучиваешь 4-5 ключевых теорем, учишься их узнавать по чертежу — и большинство задач начинают решаться по одному и тому же сценарию. В этом конспекте мы разберём этот сценарий и три типовых сюжета.

iЗАМЕЧАНИЕ

Из чего состоит тип

Задание 24 собирает четыре подтемы школьной планиметрии — на экзамене может попасться любая:

Треугольники и их элементы — высоты, биссектрисы, медианы, подобие, признаки равенства.
Четырёхугольники и их элементы — параллелограмм, трапеция, их диагонали и средние линии.
Окружности и их элементы — вписанные и центральные углы, хорды, касательные, вписанный четырёхугольник.
Правильные многоугольники — равенство сторон и углов, вписанная и описанная окружности.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Порог по геометрии — почему это задание нельзя пропускать

По правилам ОГЭ для отметки выше «двойки» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Задание 24 стоит ровно 2 балла — то есть одно аккуратно доказанное утверждение целиком закрывает геометрический порог. Даже если оценка планируется невысокая, это задание — самый короткий путь к безопасной отметке. Не пропускай его «на потом».

Инструменты доказательства

Почти все доказательства в задании 24 держатся на нескольких теоремах. Разбери их — это твой рабочий набор.

ВАЖНОЕ

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Как следствие — все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (одну хорду), равны между собой:

∠ A C B = ∠ A D B,

если вершины $C$ и $D$ лежат по одну сторону от хорды $A B .$

ВАЖНОЕ

Обратная теорема о вписанном угле (признак четырёх точек на окружности)

Если из двух точек, лежащих по одну сторону от отрезка, этот отрезок виден под равными углами, то обе точки и концы отрезка лежат на одной окружности:

∠ A C B = ∠ A D B \Rightarrow A, B, C, D лежат на одной окружности .

Это главный «мотор» задания 24: равные углы $\Rightarrow$ четыре точки на окружности $\Rightarrow$ снова равные вписанные углы, но уже на другую дугу.

ВАЖНОЕ

Угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. И наоборот: если отрезок виден из точки под углом $9 0^{\circ},$ то точка лежит на окружности, для которой этот отрезок — диаметр:

∠ A X C = 9 0^{\circ} \Leftrightarrow X лежит на окружности с диаметром A C .

ВАЖНОЕ

Признаки подобия треугольников

Чтобы доказать подобие $△ A B C \sim △ A_{1} B_{1} C_{1},$ достаточно одного из признаков:

1. По двум углам: два угла одного равны двум углам другого.
2. По двум сторонам и углу между ними: $\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}}$ и $∠ B = ∠ B_{1} .$
3. По трём сторонам: все три пары сторон пропорциональны.

iЗАМЕЧАНИЕ

Параллельные прямые и секущая

При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны, а соответственные углы равны. Это ключ ко всем трапециям и параллелограммам: диагональ — секущая для параллельных оснований.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Что есть и чего нет в справочных материалах

На экзамене тебе выдают лист «Справочные материалы». В нём есть теорема Пифагора, формулы площадей, средняя линия трапеции, длина окружности — этими формулами можно пользоваться, не заучивая. Но теоремы о вписанном угле, признаки подобия и признаки равенства треугольников в справочный лист НЕ входят — их нужно знать наизусть. Именно на них строится большинство доказательств задания 24.

Как подступиться к доказательству

АЛГОРИТМ

Алгоритм работы над задачей 24

1. Сделай крупный чертёж. Перенеси все данные на рисунок: отметь равные углы, равные стороны, прямые углы, параллельные прямые. Половина решения часто «видна» именно на аккуратном чертеже.
2. Пойми, что требуется доказать. Равенство углов? Подобие? Принадлежность точек одной окружности? От цели зависит выбор инструмента.
3. Опознай сюжет. Равные углы, глядящие на один отрезок $\to$ думай про окружность (обратная теорема о вписанном угле). Прямые углы $\to$ окружность на диаметре. Параллельные прямые $\to$ накрест лежащие углы и подобие.
4. Выстрой цепочку. Каждый шаг — ссылка на теорему или свойство. Идёшь от данного к доказываемому, не перескакивая.
5. Оформи и завершай. Записывай рассуждения полными фразами, в конце — «Что и требовалось доказать».

✓СОВЕТ

Секрет большинства задач про равные углы

Если в условии даны два равных угла, смотрящие на один и тот же отрезок, почти наверняка спрятана окружность. Схема-заготовка: равные углы $\Rightarrow$ четыре точки лежат на одной окружности (обратная теорема) $\Rightarrow$ выбираешь другую хорду $\Rightarrow$ новые вписанные углы на одну дугу равны. Так решаются целые серии задач банка.

Разбор задач

Три примера идут от простого к составному: подобие через параллельность, вписанный четырёхугольник и приём «окружность на диаметре».

ПРИМЕР 1

Подобие треугольников в трапеции

Основания $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно $2$ и $32,$ $B D = 8 .$ Докажите, что треугольники $C B D$ и $B D A$ подобны.

ПРИМЕР 2

Вписанный четырёхугольник

В выпуклом четырёхугольнике $A B C D$ углы $C D B$ и $C A B$ равны. Докажите, что углы $B C A$ и $B D A$ также равны.

Выпуклый четырёхугольник с равными углами

ПРИМЕР 3

Приём «окружность на диаметре»

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $C C_{1} .$ Докажите, что углы $C C_{1} A_{1}$ и $C A A_{1}$ равны.

Частые ошибки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

«Доказательство» ссылкой на чертёж

Ошибка: написать «из рисунка видно, что углы равны». Чертёж — только опора для мысли, а не доказательство. Эксперт снимет баллы за утверждение без ссылки на теорему.
Правильно: каждый шаг обосновывай: «накрест лежащие при $B C ∥ A D$ », «вписанные на одну дугу», «по второму признаку подобия».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Забытое условие «по одну сторону»

Обратная теорема о вписанном угле работает, только если точки лежат по одну сторону от отрезка. В выпуклом четырёхугольнике это выполнено автоматически, но упомянуть это условие в решении обязательно — иначе цепочка неполна.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа: словами, а не числом

Ошибка: искать в задании 24 числовой ответ и вписывать цифру. Здесь ответа-числа нет: результат — само доказательство. Решение должно быть записано текстом и завершаться фразой «Что и требовалось доказать». Оценивается полнота и логичность цепочки (2 балла — безупречно, 1 балл — с недочётом).

Что запомнить

Равные углы на один отрезок $\to$ окружность. Обратная теорема о вписанном угле собирает четыре точки на одной окружности — самый частый приём задания 24.
Прямые углы $\to$ окружность на диаметре. Основания высот, точки касания — ищи диаметр.
Параллельные прямые $\to$ накрест лежащие углы $\to$ подобие. Рабочая связка для трапеций.
Каждый шаг — со ссылкой на теорему. Ключевые теоремы (вписанный угол, подобие, равенство) в справочный лист не входят — учи наизусть.

Отработка

Реши задачи этого типа в банке: Задание 24 — задачи на доказательство.

Тренируйся по подтемам через коллекции: