Треугольники — ОГЭ

Треугольники (Задание 25)

Внутри задания 25 «треугольниковые» задачи узнаются по составу действующих лиц: биссектриса, медиана, высота (все три — это чевианы, отрезки от вершины к противоположной стороне) и окружность, описанная около треугольника. Ты не считаешь по готовому чертежу — тебе дают текст, а фигуру и все спрятанные свойства нужно достроить и доказать самому.

Почти все такие задачи сводятся к двум сюжетам. Первый: две чевианы пересекаются под прямым углом или делят друг друга в известном отношении — и надо найти стороны или радиус. Второй: в дело вступает центр описанной окружности, и через свойство «центральный угол вдвое больше вписанного» задача превращается в короткую выкладку. Ключ почти всегда один и тот же — увидеть скрытый равнобедренный треугольник или воспользоваться равенством $O A = O B = O C = R .$ Этот конспект учит именно распознаванию.

Обзор: треугольник с чевианами и описанной окружностью

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог отметки: геометрию не пропустить

Задание 25 — одна из геометрических задач второй части. По критериям ФИПИ для отметки выше «2» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию, поэтому геометрию нельзя обходить стороной. За полное верное решение №25 дают 2 балла, но и частичные шаги оцениваются: доказал одно свойство — записал его, это уже вклад в отметку.

Опорные факты именно для треугольников

Учи не наизусть, а «на узнавание»: в какой формулировке условия каждое из них всплывает.

ВАЖНОЕ

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

\frac{A E}{E C} = \frac{A B}{B C} .

Этой формулы нет в справочных материалах КИМ — её надо знать наизусть.

Биссектриса делит сторону в отношении сторон

ВАЖНОЕ

Признак равнобедренного треугольника

Если в треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, совпадает с высотой (или медианой) к противоположной стороне, то треугольник равнобедренный, а этот отрезок — сразу и биссектриса, и высота, и медиана. Это главный скрытый ключ треугольных задач 25: перпендикулярность биссектрисы к отрезку почти всегда «включает» равнобедренность.

ВАЖНОЕ

Длина медианы

Медиана $m_{a}$ к стороне $a$ (противоположные стороны $b$ и $c$ ):

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4} .

Формулы нет в справочных материалах — либо помни её, либо выводи через теорему косинусов.

ВАЖНОЕ

Теорема синусов и радиус описанной окружности

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R .

Эта формула есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но надо уметь ей пользоваться. Против большего угла лежит большая сторона; сторона, делённая на синус противолежащего угла, даёт диаметр $2 R .$

ВАЖНОЕ

Центр описанной окружности

Центр $O$ равноудалён от вершин: $O A = O B = O C = R .$ Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу, поэтому $∠ A O C = 2∠ B .$ Из равнобедренного треугольника $A O C$ следует удобная заготовка:

∠ O A C = 9 0^{\circ} - ∠ B, ∠ O A B = 9 0^{\circ} - ∠ C .

Центр описанной окружности и угол между радиусом и стороной

Как подступиться к задаче

АЛГОРИТМ

Алгоритм для треугольника в задании 25

1. Сделай крупный аккуратный чертёж и отметь все данные: равные отрезки, углы, перпендикуляры, середины. Плохой чертёж — половина потерянных баллов.
2. Найди скрытый равнобедренный треугольник. «Биссектриса $⊥$ отрезку из той же вершины» → равнобедренный, отрезок ещё и медиана.
3. Введи буквы для сторон $a = B C,$ $b = C A,$ $c = A B$ и запиши найденные соотношения (например $B C = 2 A B$ ).
4. Составь уравнения из свойства биссектрисы, средней линии, формулы медианы, теоремы Пифагора или синусов. Часто неизвестная сокращается.
5. Доведи до числа и проверь. Каждый шаг обоснуй ссылкой на признак или теорему — эксперт оценивает логику, а не только ответ.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые потери баллов в треугольных задачах

«Найдите стороны» — значит все три. Выпиши $A B,$ $B C,$ $A C,$ а не одну; недостающая сторона снимает балл.
Иррациональный ответ не округляй. Если вышло $913$ или $305$ — так и оставляй, без десятичных приближений.
Десятичная запятая. Если ответ вроде $3, 2$ — записывай через запятую, не «3.2».
Формулы медианы и биссектрисы в справочный лист не входят. Не рассчитывай их там найти — держи в голове или выводи.
Проверяй геометрический смысл корней: длина $> 0,$ точка $E$ лежит на стороне, а не на её продолжении.

Разобранные примеры

Оба примера — «фирменные» треугольные сюжеты задания 25.

ПРИМЕР 1

Биссектриса и медиана перпендикулярны и равны

В треугольнике $A B C$ биссектриса $B E$ и медиана $A D$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника $A B C .$

Биссектриса BE и медиана AD, перпендикулярные и равные

ПРИМЕР 2

Центр описанной окружности и перпендикуляр

В треугольнике $A B C$ известны длины сторон $A B = 15,$ $A C = 25,$ точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $A B C .$ Прямая $B D,$ перпендикулярная прямой $A O,$ пересекает сторону $A C$ в точке $D .$ Найдите $C D .$

Перпендикуляр из B на радиус AO пересекает сторону AC

Отработка

Решение примеров закрепляется только практикой: важно набить руку на распознавании ключевого свойства — «где здесь равнобедренный треугольник» и «куда девать центр описанной окружности».

Подборка по теме: Треугольники (задание 25).
Все задачи типа: банк задания 25.

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Даже если не видишь решения целиком — сделай чертёж, выпиши данные и докажи хотя бы одно свойство (например, что треугольник равнобедренный). За верные шаги ставят частичные баллы, а именно они держат отметку выше тройки.