Задание 25: Геометрические задачи повышенной… — ОГЭ

Геометрические задачи повышенной сложности (Задание 25)

Задание 25 — последняя, самая «дорогая» задача второй части ОГЭ и вершина всего варианта. Здесь уже не нужно ничего вычислять по готовому чертежу: тебе дают текст, а ты сам строишь фигуру, находишь спрятанное свойство и доказываешь каждый шаг. За полное верное решение дают 2 балла, и именно оно чаще всего отделяет пятёрку от четвёрки.

Пугаться не стоит. Почти все задачи 25 собраны из одних и тех же кирпичиков: подобие, признак равнобедренного треугольника, свойство биссектрисы, вписанный угол и признак вписанной/описанной окружности. Если ты узнаёшь кирпичик — задача рассыпается на 3-4 понятных шага. Этот конспект учит именно узнаванию: какие свойства прячутся за типовыми формулировками и как довести решение до строгого ответа.

Обзор: где на чертеже возникают задачи 25

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог отметки: геометрию нельзя пропустить

Во второй части ОГЭ по математике три геометрические задачи (23, 24, 25). По критериям ФИПИ для отметки выше «2» нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Алгеброй одной проходной балл не «добить»: без геометрии тройка не гарантирована. Поэтому даже если задание 25 кажется сложным — учись брать хотя бы частичные шаги задач 23-24, а разбор №25 поднимает потолок твоей отметки до максимума.

Из чего состоит задание: четыре подтемы

Треугольники (oge-math-topic-treugolniki-25) — биссектриса, медиана, высота и их свойства; теорема синусов, радиус описанной окружности.
Четырёхугольники (oge-math-topic-chetyrehugolniki-25) — трапеции и параллелограммы, дополнительные построения, площадь через высоту.
Окружности (oge-math-topic-okruzhnosti-25) — вписанные углы, хорды, касательные, углы между секущими.
Комбинация многоугольников и окружностей (oge-math-topic-kombinaciya-25) — вписанная и описанная окружности, четырёхугольник на одной окружности.

Опорные факты и формулы

Ниже — набор свойств, которого хватает почти на любую задачу 25. Учи не наизусть, а «на узнавание»: в какой формулировке условия каждое из них всплывает.

ВАЖНОЕ

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

\frac{A E}{E C} = \frac{A B}{B C} .

Биссектриса делит сторону в отношении сторон

ВАЖНОЕ

Признак равнобедренного треугольника

Если в треугольнике биссектриса и высота (или медиана), проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный. Это самый частый скрытый ключ задачи 25: перпендикулярность биссектрисы к отрезку почти всегда «включает» равнобедренность.

ВАЖНОЕ

Теорема синусов и радиус описанной окружности

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R .

Отсюда хорда, на которую опирается вписанный угол $φ,$ равна $2 R sin φ .$ Значения синусов острых углов берутся из таблицы в справочных материалах КИМ — учить её наизусть не обязательно.

ВАЖНОЕ

Признак вписанной окружности (для четырёхугольника)

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

A B + C D = B C + A D .

ВАЖНОЕ

Признак вписанного (в окружность) четырёхугольника

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны $18 0^{\circ} :$

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}, ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ} .

ВАЖНОЕ

Площадь трапеции и теорема Пифагора

S = \frac{a + b}{2} \cdot h, c^{2} = a^{2} + b^{2} .

Обе формулы есть в справочных материалах КИМ (площади фигур и теорема Пифагора) — их не нужно держать в памяти, но нужно уверенно применять.

Как подступиться к задаче

АЛГОРИТМ

Алгоритм решения задания 25

1. Сделай крупный аккуратный чертёж по условию и отметь на нём все данные (равные отрезки, углы, перпендикуляры). Плохой чертёж — половина потерянных решений.
2. Найди спрятанное свойство. «Биссектриса = высота» → равнобедренный; «середина равноудалена от вершин» → все точки на одной окружности; «можно вписать окружность» → суммы сторон равны.
3. Сделай дополнительное построение, если нужно: продли отрезок, проведи высоту, среднюю линию или параллельную прямую. Это стандартный приём для трапеций.
4. Составь уравнения из подобия, теоремы Пифагора, формул медианы/биссектрисы. Часто неизвестная величина сокращается.
5. Доведи до числа и проверь размерность. Ответ должен быть соразмерен данным. Каждый шаг обоснуй — эксперт оценивает именно логику.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые потери баллов на ОГЭ

Нет обоснования. «Из чертежа видно» баллов не приносит. Каждое равенство углов/сторон должно опираться на признак или теорему.
Формат ответа. В бланк ответов части 2 идёт полное решение, а итог записывают в конце словом «Ответ». Если ответ иррациональный ( $32,$ $1013$ ) — так и оставляй, не округляй без требования. Просят «найдите стороны» — выпиши все три, а не одну.
Единицы и десятичная запятая. Если получилось $3, 2$ — записывай через запятую, не «3.2». Следи, чтобы величины были в одних единицах.
Потерянный корень / лишний корень. Решая квадратное уравнение, проверяй оба корня на геометрический смысл (длина > 0, угол в нужных границах).

Разобранные примеры

Примеры идут от треугольника к комбинации фигур — от одного ключевого свойства к связке из нескольких.

ПРИМЕР 1

Треугольник: биссектриса и высота

В треугольнике $A B C$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $5 : 4,$ считая от точки $B .$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C,$ если $B C = 12 .$

Биссектриса угла A и высота из вершины B

ПРИМЕР 2

Трапеция с вписанной окружностью

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Диагонали трапеции с вписанной окружностью

ПРИМЕР 3

Комбинация: середина стороны и одна окружность

Середина $M$ стороны $A D$ выпуклого четырёхугольника $A B C D$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $A D,$ если $B C = 11,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $12 6^{\circ}$ и $9 9^{\circ} .$

Все вершины четырёхугольника на окружности с центром на стороне

Отработка

Разбор пары примеров закрепляется только практикой: важно набить руку на распознавании ключевого свойства.

Все задачи типа: банк задания 25.
Подборки по подтемам:

✓СОВЕТ

Стратегия на экзамене

Задание 25 бери последним, когда вся первая часть уже перенесена в бланк. Даже если не видишь решения целиком — запиши чертёж, выпиши данные и хотя бы одно доказанное свойство: за верные шаги ставят частичные баллы, а именно они держат твою отметку выше тройки.