Треугольники — ОГЭ

Треугольники (Задание 23)

В конспекте по всему заданию 23 мы разобрали четыре сюжета — треугольники, четырёхугольники, углы и окружности. Здесь копнём именно треугольники: это самая частая фигура задания 23, и почти любая «треугольная» задача держится на одном из трёх приёмов.

Прямоугольный треугольник — теорема Пифагора и метрические соотношения с высотой к гипотенузе.
Подобие по двум углам — когда в чертёж встроены два треугольника с одинаковыми углами.
Теорема синусов — связь стороны, противолежащего угла и радиуса описанной окружности.

Первое, что делаешь в любой такой задаче, — ищешь в чертеже прямой угол или пару равных углов. Прямой угол ведёт к Пифагору и метрическим соотношениям, равные углы — к подобию, а описанная окружность и известный угол — к теореме синусов. Разберём каждый приём отдельно.

Приём 1. Прямоугольный треугольник

Теорему Пифагора ты уже знаешь: $c^{2} = a^{2} + b^{2},$ где $c$ — гипотенуза. Она есть в справочных материалах КИМ, но держи её в голове — без неё не обходится половина задач. Гораздо интереснее то, чего в справочном листе нет: что происходит, когда из вершины прямого угла опущена высота на гипотенузу.

ВАЖНОЕ

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Пусть в треугольнике $A B C$ прямой угол при вершине $B,$ а $B H$ — высота, опущенная на гипотенузу $A C$ ( $H$ лежит на $A C$ ). Тогда высота делит треугольник на два, подобных исходному, и работают соотношения:

A B^{2} = A H \cdot A C B C^{2} = C H \cdot A C B H^{2} = A H \cdot C H

Словами: катет — среднее геометрическое между гипотенузой и прилежащим к нему отрезком; высота — среднее геометрическое между двумя отрезками гипотенузы.

Прямоугольный треугольник ABC с высотой BH к гипотенузе AC

iЗАМЕЧАНИЕ

Этих формул в справочном листе нет

Метрические соотношения с высотой к гипотенузе в справочные материалы не входят — их надо знать твёрдо. Но выводятся они за две строки из подобия: у треугольников $A B H$ и $A C B$ общий острый угол $A$ и по прямому углу, значит $\frac{A B}{A C} = \frac{A H}{A B},$ откуда $A B^{2} = A H \cdot A C .$

Приём 2. Подобие по двум углам

Если у двух треугольников равны два угла, они подобны: сходственные стороны пропорциональны с одним коэффициентом $k .$ Признаков подобия в справочном листе нет — учи наизусть.

ВАЖНОЕ

Подобие треугольников

Если $∠ A_{1} = ∠ A_{2}$ и $∠ B_{1} = ∠ B_{2},$ то $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A_{2} B_{2} C_{2}$ и

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}} = k .

Коэффициент $k$ — отношение любой пары сходственных сторон. Сходственные — это стороны, лежащие против равных углов.

Два подобных треугольника с равными углами

✓СОВЕТ

Как находить подобие на ОГЭ

Чаще всего равные углы в задании 23 приходят из двух источников: параллельные прямые дают равные накрест лежащие углы (секущая-диагональ), а вписанный четырёхугольник и общий угол дают пару равных углов через смежность. Ищешь параллельность или окружность через вершины — почти наверняка будет подобие.

Приём 3. Теорема синусов и описанная окружность

Когда в условии есть радиус описанной окружности и угол (или, наоборот, сторона и радиус), связь между ними даёт теорема синусов.

ВАЖНОЕ

Теорема синусов

Для треугольника $A B C$ со сторонами $a = B C,$ $b = A C,$ $c = A B :$

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R,

где $R$ — радиус описанной окружности. Отсюда удобная форма: сторона равна произведению диаметра на синус противолежащего угла, $a = 2 R sin A .$

Теорема синусов есть в справочных материалах КИМ — как и таблица значений $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2},$ $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2},$ $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Что ещё про треугольники есть в справочном листе

Пользуйся выданным листом смело — там лежат: теорема Пифагора, площадь треугольника $S = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} ab sin γ,$ средняя линия $m = \frac{a}{2},$ теорема косинусов и формулы правильного (равностороннего) треугольника. А вот подобие, метрические соотношения и свойство биссектрисы держи в голове — их в листе нет.

Как решать

АЛГОРИТМ

Алгоритм для «треугольной» задачи 23

1. Перерисуй чертёж и подпиши все данные. Отметь прямые углы квадратиком, равные стороны — засечками.
2. Определи приём по картинке. Прямой угол и высота к гипотенузе — метрические соотношения. Два равных угла (параллельность, окружность) — подобие. Угол и радиус описанной — теорема синусов.
3. Если прямого треугольника нет — дострой его: опусти высоту, соедини центр с вершиной.
4. Запиши равенство (Пифагор, пропорцию подобия или $a = 2 R sin A$ ) и реши уравнение.
5. Проверь на здравый смысл и оформи с обоснованием. В конце словами: «Ответ: …».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типовые ловушки

Сходственные стороны — против равных углов. Записывая $\frac{A M}{C M} = k,$ следи, каким вершинам они соответствуют: перепутаешь порядок — получишь обратный коэффициент.
Катет ищут вычитанием. В Пифагоре $a = c^{2} - b^{2},$ а не сложением: гипотенуза $c$ всегда самая длинная и стоит против прямого угла.
Ответ — только число. Десятичный результат пиши через запятую: $12, 5,$ а не $12.5$ и не дробью. Единицы («см») в клеточки ответа не вписывают.
Баллы дают за обоснование. Мало написать « $A B = 10$ » — объясни, почему треугольник прямоугольный и откуда взялась формула. Голый ответ = 0 баллов.

Разбор задач из банка

ПРИМЕР 1

Высота из прямого угла к гипотенузе

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $A B C$ к гипотенузе $A C .$ Найдите $A B,$ если $A H = 5,$ $A C = 20 .$

Прямоугольный треугольник ABC с высотой BH и отрезками AH, AC

ПРИМЕР 2

Сторона через теорему синусов

Углы $B$ и $C$ треугольника $A B C$ равны соответственно $7 1^{\circ}$ и $7 9^{\circ} .$ Найдите $B C,$ если радиус окружности, описанной около треугольника $A B C,$ равен 8.

Треугольник ABC, вписанный в окружность с центром O

ПРИМЕР 3

Биссектриса, высота и радиус

В треугольнике $A B C$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B,$ в отношении $5 : 3,$ считая от точки $B .$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C,$ если $B C = 8 .$

Треугольник ABC с высотой BH и биссектрисой из A, пересекающей высоту

Что запомнить

Прямой угол и высота к гипотенузе $\to$ метрические соотношения $A B^{2} = A H \cdot A C$ (в справочном листе их нет).
Два равных угла (параллельность, окружность) $\to$ подобие, сходственные стороны против равных углов.
Угол и радиус описанной окружности $\to$ теорема синусов $a = 2 R sin A$ (есть в справочном листе).
Полное решение с обоснованием = 2 балла, и эти 2 балла закрывают геометрический порог отметки.

Отработка

Прорешай задачи этого типа в банке: Задание 23 — геометрические задачи на вычисление.

Подборка именно по треугольникам — коллекция «Треугольники».