Трапеция — ОГЭ

Трапеция (Задание 17)

Трапеция — самый «характерный» сюжет задания 17. Если в задачах про прямоугольник или ромб почти всё решается одной формулой площади, то трапеция любит вопросы про углы, высоту и среднюю линию, и здесь недостаточно подставить числа — надо провести пару лишних линий и увидеть прямоугольный треугольник. Почти всегда в условии стоит слово равнобедренная: у такой трапеции боковые стороны равны, и именно из этого вырастает большинство приёмов.

Формулы средней линии и площади ты уже видел в конспекте по всему заданию 17 — они простые и лежат в справочных материалах. Здесь разберёмся с тем, чего в справочном листе нет: со свойствами равнобедренной трапеции, с углами при параллельных основаниях и с тем, как аккуратно достроить высоту.

Свойства равнобедренной трапеции

ВАЖНОЕ

Равнобедренная трапеция

Боковые стороны равны: $A B = C D .$
Углы при каждом основании равны: $∠ A = ∠ D$ (при большем) и $∠ B = ∠ C$ (при меньшем).
Диагонали равны: $A C = B D .$
Сумма всех четырёх углов трапеции равна $36 0^{\circ};$ углы при боковой стороне дают $18 0^{\circ} .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Этого нет в справочных материалах

Свойства именно равнобедренной трапеции (равные углы при основании, равные диагонали) в справочный лист ОГЭ не входят — их надо помнить. А вот формулы средней линии $m = \frac{a + b}{2}$ и площади $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ в справочных материалах есть: учить наизусть не обязательно, важно уметь ими пользоваться.

Основания, средняя линия и высота трапеции — что во что подставлять

Углы: работаем через параллельные основания

Главный инструмент в угловых задачах — то, что основания параллельны ( $B C ∥ A D$ ), а боковая сторона или диагональ служит секущей.

iЗАМЕЧАНИЕ

Два правила для секущей

Односторонние углы (по одну сторону от секущей, между основаниями) в сумме дают $18 0^{\circ} .$ Так связаны углы при одной боковой стороне: $∠ A + ∠ B = 18 0^{\circ} .$
Накрест лежащие углы (по разные стороны от секущей) равны. Для диагонали $A C$ это даёт $∠ C A D = ∠ B C A$ — угол с нижним основанием равен углу с верхним.

✓СОВЕТ

Диагональ и меньшее основание

Когда спрашивают «угол между диагональю и меньшим основанием» — это накрест лежащий угол к «углу между той же диагональю и большим основанием». Их не надо искать по отдельности: нашёл один — знаешь второй.

Высота: достраиваем прямоугольный треугольник

Если в условии есть угол, боковая сторона или диагональ, а спрашивают высоту — опусти высоту из вершины меньшего основания на большее. В равнобедренной трапеции две такие высоты отсекают по краям большего основания равные отрезки.

ВАЖНОЕ

Проекция боковой части

Высоты из вершин меньшего основания отсекают у концов большего основания равные отрезки:

отрезок = \frac{a - b}{2},

где $a$ — большее основание, $b$ — меньшее. Средний кусок большего основания равен $b .$

Высоты и проекции в равнобедренной трапеции

АЛГОРИТМ

Как найти высоту через угол

1. Опусти высоту из вершины меньшего основания — получишь прямоугольный треугольник.
2. Найди горизонтальный катет: это либо $\frac{a - b}{2},$ либо (для диагонали) кусок от вершины до основания высоты.
3. Свяжи катеты через данный угол: $t g α = \frac{высота}{горизонтальный катет} .$
4. Вырази и посчитай высоту. При угле $4 5^{\circ}$ треугольник равнобедренный — высота равна горизонтальному катету.

Разбор задач

Три задачи из нашего банка ОГЭ — от угловой к составным на высоту.

ПРИМЕР 1

Угол между диагональю и основанием

В равнобедренной трапеции с основаниями $A D$ и $B C$ угол $D$ равен $8 0^{\circ} .$ Диагональ $A C$ образует со стороной $A B$ угол $3 0^{\circ} .$ Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Равнобедренная трапеция с диагональю AC и углами при A

ПРИМЕР 2

Диагональ под 45° и высота

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $4 5^{\circ} .$ Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 8.

Равнобедренная трапеция с диагональю под 45° и высотой

ПРИМЕР 3

Вписанная окружность и высота

Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 34. Найдите высоту этой трапеции.

Равнобедренная трапеция с вписанной окружностью

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа и лишние данные

В бланк — только число: без «см», без слова «градусов». Десятичную дробь пиши через запятую: $5, 5,$ а не $5.5 .$
В задачах на среднюю линию высоту дают специально, чтобы сбить: в формулу $m = \frac{a + b}{2}$ высота не входит.
Спросили больший угол трапеции — не отдавай острый. Углы при боковой стороне дают $18 0^{\circ},$ так что больший угол $= 18 0^{\circ} - меньший .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Проекция — это (a − b)/2, а не (a − b)

Высоты отсекают отрезок $\frac{a - b}{2}$ — с делением на 2, потому что лишняя длина большего основания делится поровну между двумя краями. Забыть про деление — самая частая ошибка в задачах на высоту.

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог по геометрии

Задание 17 — часть геометрического блока (задания 15–19). По правилам ОГЭ, чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Пропустить её нельзя, а трапеция — один из самых предсказуемых сюжетов: выучил свойства равнобедренной и приём с высотой — и балл почти гарантирован.

Отработка

Закрепи тему на задачах банка:

Коллекция топика: /math/oge-math/collections/topic-trapetsiya-17-oge
Все задачи типа: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-17

Порешай 6–8 трапеций подряд: рука быстро привыкнет опускать высоту из нужной вершины и видеть накрест лежащие углы при диагонали.