Задание 17: Четырёхугольники, многоугольники и… — ОГЭ

Четырёхугольники, многоугольники и их элементы (Задание 17)

Задание 17 — это геометрия из первой части ОГЭ. Тебе дают четырёхугольник (параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб или трапецию), сообщают пару-тройку данных — сторону, угол, диагональ, высоту — и просят найти площадь, угол, диагональ или среднюю линию. Ответ всегда одно число, которое ты вписываешь в бланк.

Хорошая новость: почти всё решение опирается на несколько свойств фигур и формулы площади, а многие из этих формул есть в справочных материалах, которые тебе выдадут на самом экзамене. Твоя работа — не зубрить, а научиться выбирать нужную формулу под условие и аккуратно считать.

Разберём четыре главных сюжета — их коды в нашем банке: Параллелограмм, Прямоугольник, Ромб и Трапеция.

Четыре четырёхугольника: параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция

iЗАМЕЧАНИЕ

Что вообще спрашивают

В задании 17 встречаются четыре типа вопросов: найти площадь, найти угол, найти диагональ (или сторону) и найти среднюю линию трапеции. Реже — периметр или высоту. Все они решаются через свойства конкретной фигуры плюс, если нужно, теорему Пифагора.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это «родитель» прямоугольника, ромба и квадрата: всё, что верно для него, верно и для них.

ВАЖНОЕ

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны равны, противоположные углы равны.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $18 0^{\circ} .$
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Площадь: $S = a \cdot h$ — сторона на проведённую к ней высоту.

Прямоугольник и квадрат

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны (он же ромб с прямыми углами).

ВАЖНОЕ

Прямоугольник и квадрат

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.
Диагональ по теореме Пифагора: $d = a^{2} + b^{2};$ у квадрата $d = a 2 .$
Площадь прямоугольника: $S = a \cdot b;$ площадь квадрата: $S = a^{2} .$

Квадрат с диагональю и прямоугольным треугольником

iЗАМЕЧАНИЕ

Формула из справочных материалов

Формула площади прямоугольника $S = ab$ и теорема Пифагора есть в справочном листе ОГЭ. Их не нужно учить наизусть — важно уметь ими пользоваться и не перепутать, где катеты, а где гипотенуза.

Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Ключевая особенность — его диагонали.

ВАЖНОЕ

Свойства ромба

Все стороны равны; противоположные углы равны.
Диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали лежат на биссектрисах углов ромба.
Площадь через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} .$

✓СОВЕТ

Ромб = четыре прямоугольных треугольника

Диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами $\frac{d _{1}}{2}$ и $\frac{d _{2}}{2} .$ Поэтому в задачах про ромб постоянно всплывают $t g,$ $sin,$ теорема Пифагора — работай внутри одного такого треугольника.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара сторон параллельна. Эти стороны — основания, две другие — боковые.

ВАЖНОЕ

Трапеция и средняя линия

Средняя линия соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований:

m = \frac{a + b}{2} .

Площадь: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h$ — полусумма оснований на высоту.

iЗАМЕЧАНИЕ

Формула из справочных материалов

Формулы площади трапеции и средней линии есть в справочном листе ОГЭ. Средняя линия зависит только от оснований — высота в неё не входит, даже если её дали в условии.

Многоугольники

Иногда в задании 17 просят про углы произвольного многоугольника.

ВАЖНОЕ

Сумма углов многоугольника

Сумма внутренних углов выпуклого $n$ -угольника:

S_{n} = 18 0^{\circ} \cdot (n - 2) .

У правильного (все стороны и углы равны) $n$ -угольника каждый угол равен $\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n} .$

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как подступиться к задаче 17

1. Опознай фигуру и выпиши её свойства: параллельность, равенство сторон/углов, перпендикулярность диагоналей.
2. Отметь на чертеже всё данное. Нет чертежа — начерти сам, это половина решения.
3. Найди прямоугольный треугольник, если есть угол, диагональ или высота: диагонали ромба, высота параллелограмма/трапеции, диагональ прямоугольника рождают прямой угол — там работают Пифагор и $t g .$
4. Выбери формулу под вопрос: площадь ( $ab,$ $\frac{1}{2} d_{1} d_{2},$ $\frac{a + b}{2} h$ ), средняя линия, сумма углов.
5. Посчитай и проверь ответ на здравый смысл: площадь соразмерна сторонам, угол в градусах, число — целое или конечная десятичная дробь.

Разбор задач

Три задачи от простой к составной — все из нашего банка ОГЭ.

ПРИМЕР 1

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $22 .$ Найдите диагональ этого квадрата.

ПРИМЕР 2

Средняя линия трапеции

Основания трапеции равны $8$ и $18,$ а высота равна $5 .$ Найдите среднюю линию этой трапеции.

Трапеция с основаниями 8 и 18 и высотой 5

ПРИМЕР 3

Площадь ромба по диагонали и тангенсу

Диагональ $A C$ ромба $A B C D$ равна $8,$ а $t g ∠ B C A = 0, 75 .$ Найдите площадь ромба.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа и единицы

В бланк ОГЭ пиши только число, без единиц измерения и без слова «градусов». Десятичную дробь — через запятую: $12, 5,$ а не $12.5 .$
Спросили меньший угол — не отдавай больший. У параллелограмма и ромба углы идут парами $α$ и $18 0^{\circ} - α;$ меньший — тот, что меньше $9 0^{\circ} .$
Лишние данные в условии (например, высота при поиске средней линии) даны специально, чтобы сбить. Бери в формулу только нужное.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Диагональ — не сумма катетов

Частая ошибка — считать диагональ прямоугольника как $a + b .$ Диагональ всегда через Пифагора: $d = a^{2} + b^{2} .$ И не путай, где катет, а где гипотенуза: диагональ — это гипотенуза, она самая длинная.

iЗАМЕЧАНИЕ

Порог по геометрии

Задание 17 входит в геометрический блок (задания 15–19). Помни правило ОГЭ: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов именно за геометрию. Пропустить геометрию целиком нельзя, а задание 17 — одно из самых доступных в этом блоке. Реши его — и половина порога уже в кармане.

Отработка

Закрепи тему на задачах банка:

Все задачи типа: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-17
Коллекции по подтемам:
- Ромб — topic-romb-17-oge
- Прямоугольник — topic-pryamougolnik-17-oge
- Параллелограмм — topic-parallelogramm-17-oge
- Трапеция — topic-trapetsiya-17-oge
- Многоугольники (углы) — topic-mnogougolniki-17-oge

Порешай по 5–6 задач на каждую фигуру: рука быстро запомнит, какое свойство под какой вопрос, и задание 17 станет автоматическим первичным баллом.