Теорема Пифагора (Задание 18)
Внутри задания 18 «Фигуры на квадратной решётке» есть отдельный подвид: тебя просят найти длину наклонного отрезка — стороны треугольника, боковой стороны трапеции, диагонали ромба или просто расстояния между двумя точками. Всё, что лежит вдоль линий сетки, ты считаешь прямо по клеткам. А вот наклонную линию по клеткам не измеришь — тут и включается теорема Пифагора.
Приём один и тот же: наклонный отрезок ты делаешь гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого идут по линиям сетки. Катеты сосчитал по клеткам — подставил в формулу — получил длину. Этот подвид отличается от «площадей» и «средней линии» тем, что здесь почти всегда работает одна формула, и главное — не ошибиться в подсчёте катетов и в том, что именно у тебя гипотенуза.
Главная формула
ВАЖНОЕ
Теорема Пифагора
c=a2+b2Здесь a и b — катеты (их ты считаешь по клеткам), c — гипотенуза, то есть твой наклонный отрезок. Эта формула есть в справочных материалах КИМ (там она записана как a2+b2=c2) — учить наизусть не обязательно, но подставлять в неё катеты надо уметь мгновенно.
Чтобы построить катеты, через один конец отрезка проведи горизонтальную линию сетки, через другой — вертикальную. Они пересекутся в узле, и получится прямоугольный треугольник, где твой отрезок — гипотенуза. Горизонтальный катет — это «сдвиг по клеткам вправо», вертикальный — «сдвиг по клеткам вверх».
✓СОВЕТ
Знай пифагоровы тройки наизусть
Чаще всего катеты складываются в «красивую» тройку, где гипотенуза — целое число: 3−4−5, 6−8−10, 5−12−13, 8−15−17, 9−12−15. Увидел катеты 3 и 4 — сразу пиши 5, даже не доставая корень. Это экономит время и защищает от арифметических ошибок.
iЗАМЕЧАНИЕ
Когда ответ остаётся под корнем
Если тройка «некрасивая», длина получается иррациональной: 22+32=13, 42+22=20=25. Важный факт про ОГЭ: в бланк задания 18 идёт число, поэтому если бы ответом была такая длина, задачу так не поставили бы. Значит: когда спрашивают именно длину наклонного отрезка — почти наверняка выйдет целая (пифагорова тройка). А если длина «некрасивая», в задаче спросят не её, а отношение отрезков, периметр или площадь, где корни сократятся или вообще не появятся.
Периметр и стороны фигур
Тот же приём работает, когда надо найти сторону фигуры или её периметр. Каждую наклонную сторону ты по отдельности достраиваешь до прямоугольного треугольника и находишь Пифагором, а потом складываешь.
✓СОВЕТ
Проверка «на глаз» не работает
Две наклонные линии могут выглядеть одинаково длинными, а по клеткам оказаться разными: у одной катеты 2 и 5, у другой 3 и 4. Никогда не сравнивай наклонные отрезки визуально — только через катеты.
Алгоритм
Как найти длину наклонного отрезка
1. Отметь концы отрезка в узлах сетки. Почти всегда они там и сидят.
2. Дострой прямоугольный треугольник: через один конец — горизонталь, через другой — вертикаль. Отрезок стал гипотенузой.
3. Сосчитай катеты по клеткам: сдвиг по горизонтали и сдвиг по вертикали.
4. Проверь тройку. Если катеты дают 3−4−5 и т. п. — гипотенуза сразу целая.
5. Подставь в теорему Пифагора c=a2+b2 и посчитай.
6. Запиши ответ нужным числом: целое или десятичная дробь через запятую.
Типовые ловушки ОГЭ
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
На чём теряют балл именно здесь
- Гипотенуза — самая длинная сторона. Наклонный отрезок всегда длиннее любого своего катета. Если получил, что «гипотенуза» меньше катета — перепутал, что у тебя гипотенуза, а что катет.
- Катеты — по клеткам, а не наклонная. В формулу идут длины катетов (целые числа клеток), а не длина самого наклонного отрезка. Это разные вещи.
- Не забудь возвести в квадрат. Частая ошибка — сложить катеты: 3+4=7 вместо 32+42=5. Гипотенуза не равна сумме катетов.
- Формат ответа. В бланк — просто число, без единиц. Десятичную дробь пиши через запятую: 2,5, а не 2.5.
- Диагональ вдоль сетки — это не Пифагор. Если диагональ ромба или сторона фигуры идёт по линии сетки, её считают прямо по клеткам. Пифагор нужен только для наклонных отрезков.
iЗАМЕЧАНИЕ
Зачем это на экзамене: порог по геометрии
Задание 18 стоит в первой части, где балл берётся легко, и оно геометрическое. Помни правило ОГЭ: для отметки выше «2» нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и 23–25). Клетчатые задачи 15–19 — самый доступный способ закрыть этот порог, поэтому наклонные длины через Пифагора надо считать без осечек.
Примеры решения задач
Ниже — разбор от чистого Пифагора к задачам, где он работает вместе с подсчётом по клеткам.
ПРИМЕР 1
Расстояние между точками
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
ПРИМЕР 2
Сравнение отрезков на одной прямой
На клетчатой бумаге изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM короче отрезка BM?
ПРИМЕР 3
Диагональ и сторона ромба
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Что запомнить
- Вдоль сетки — считай по клеткам, наискосок — Пифагором. Наклонный отрезок делай гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами по сетке.
- Теорема Пифагора a2+b2=c2 есть в справочных материалах КИМ — пользуйся листом, но подставляй быстро.
- Пифагоровы тройки (3−4−5, 5−12−13, 8−15−17) дают целую гипотенузу без вычислений.
- Гипотенуза длиннее любого катета, и она не равна сумме катетов — не забудь возвести в квадрат.
- Формат: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».
Отработка
Отработай приём на задачах банка: все задачи задания 18.
Подборка именно по этому подвиду: Теорема Пифагора.