Задание 18: Фигуры на квадратной решётке — ОГЭ

Фигуры на квадратной решётке (Задание 18)

Задание 18 — из первой части ОГЭ, и оно одно из самых приятных во всём варианте. Тебе дают картинку: на клетчатой бумаге (клетка $1 \times 1$ ) нарисована фигура — треугольник, трапеция, ромб, параллелограмм — или просто несколько точек. Нужно найти какую-то её величину: длину стороны, диагональ, площадь, среднюю линию или расстояние. Ответ — обычно целое число или короткая десятичная дробь, которую ты записываешь в бланк.

Весь секрет в том, что клетка — это готовая линейка. Всё, что идёт по линиям сетки, считается прямо по клеткам. Всё, что идёт наискосок, достраивается до прямоугольного треугольника и находится теоремой Пифагора. Никаких сложных построений: аккуратно посчитал клетки — получил ответ.

Фигура на клетчатой бумаге, узлы сетки и подсчёт клеток

Внутри задания 18 живут пять подтем — по типу того, что просят найти:

Расстояние между точками и от точки до прямой — считаем по сетке и через Пифагора.
Средняя линия — полусумма оснований треугольника или трапеции.
Теорема Пифагора — длина любого наклонного отрезка.
Площади — треугольника, трапеции, ромба, параллелограмма по клеткам.
Длины сторон — сторон и диагоналей фигур.

Расстояние и длины: теорема Пифагора

Если отрезок лежит вдоль линии сетки (горизонтально или вертикально) — просто посчитай клетки. Если он идёт наискосок — достраивай прямоугольный треугольник: через один конец проведи горизонталь, через другой — вертикаль. Катеты пойдут по клеткам, а сам отрезок станет гипотенузой.

ВАЖНОЕ

Теорема Пифагора

c = a^{2} + b^{2}

Здесь $a$ и $b$ — катеты (их считаем по клеткам), $c$ — гипотенуза (наш наклонный отрезок). Эта формула есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но пользоваться ей надо уметь свободно.

Наклонный отрезок как гипотенуза прямоугольного треугольника на сетке

✓СОВЕТ

Запомни пифагоровы тройки

Чаще всего катеты дают «красивую» тройку, где гипотенуза — целая: $3 - 4 - 5,$ $6 - 8 - 10,$ $5 - 12 - 13,$ $8 - 15 - 17 .$ Увидел катеты $3$ и $4$ — ответ $5$ без вычислений. Если тройка «некрасивая», ответ останется под корнем, например $4^{2} + 2^{2} = 20 = 25 .$

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Когда прямая идёт по линии сетки, перпендикуляр к ней тоже пойдёт по сетке, и его длину считают прямо по клеткам.

Расстояние от точки до прямой по клеткам

Площади

Площади всех фигур из задания 18 есть в справочных материалах КИМ. На клетчатой бумаге ими особенно удобно пользоваться: все нужные длины (основания, высоты, диагонали) читаются по клеткам.

ВАЖНОЕ

Площадь треугольника и трапеции

S_{△} = \frac{1}{2} a h S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot h

$a,$ $b$ — основания, $h$ — высота (расстояние между основаниями). Обе формулы — в справочных материалах КИМ.

ВАЖНОЕ

Площадь ромба через диагонали

S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2}

$d_{1}$ и $d_{2}$ — диагонали. Формула есть в справочных материалах. На решётке диагонали ромба обычно идут по линиям сетки, поэтому считаются напрямую.

✓СОВЕТ

Универсальный приём: разбиение и достройка

Если фигура «неудобная», её всегда можно разбить на прямоугольники и прямоугольные треугольники (у них площадь считается легко) или достроить до большого прямоугольника и вычесть лишние уголки. Это работает для любой фигуры с вершинами в узлах сетки, даже если готовой формулы не вспомнил.

Средняя линия

ВАЖНОЕ

Средняя линия

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, средняя линия треугольника — половине основания, к которому она параллельна:

m_{трап} = \frac{a + b}{2} m_{△} = \frac{a}{2}

Свойство средней линии есть в справочных материалах КИМ.

Средняя линия трапеции на клетчатой бумаге

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 18

1. Найди вершины в узлах сетки. Почти всегда ключевые точки фигуры сидят в узлах — это опора для подсчёта.
2. Пойми, что просят: длину, площадь, диагональ, среднюю линию или расстояние. От этого зависит формула.
3. То, что вдоль сетки, считай по клеткам — это готовые длины оснований, высот, диагоналей.
4. То, что наискосок, достраивай до прямоугольного треугольника и находи Пифагором.
5. Подставь в формулу площади / средней линии — все числа уже известны.
6. Запиши ответ в нужном формате: целое число или десятичную дробь через запятую.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

На чём теряют балл в задании 18

Высота — это не боковая сторона. В трапеции и треугольнике высота — перпендикуляр между основаниями (считается по вертикали сетки), а не наклонная боковая сторона. Не бери в формулу площади длину наклонной стороны.
Диагонали, а не стороны. В формуле площади ромба $S = \frac{d _{1} d _{2}}{2}$ стоят диагонали. Сторону ромба на клетчатой бумаге легко перепутать с диагональю — смотри, что идёт по линиям сетки.
Ответ под корнем. Если тройка катетов «некрасивая», длина останется иррациональной ( $25,$ $13$ ). Не округляй самовольно — если в задаче просят именно длину, ответ может быть с корнем; но чаще на решётке спрашивают площадь или диагональ, где ответ целый.
Единицы и формат. Площадь в клетках $1 \times 1$ — это просто число (в бланк — без «см²»). Десятичную дробь пиши через запятую: $12, 5,$ а не $12.5 .$
Считай клетки, а не «на глаз». Длину всегда сверяй по узлам сетки, а не прикидывай визуально — наклонные линии обманчивы.

iЗАМЕЧАНИЕ

Зачем это на экзамене: порог по геометрии

Задание 18 — геометрическое и стоит в первой части, где балл даётся легко. Помни про правило ОГЭ: для отметки выше «2» нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и 23–25). Клетчатые задачи 15–19 — самый доступный способ закрыть этот порог, поэтому терять здесь баллы нельзя.

Примеры решения задач

Три задачи ниже идут от простой к составной: сначала прямой подсчёт по клеткам, потом формула площади, в конце — приём с подобием.

ПРИМЕР 1

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Клетчатая бумага с двумя отмеченными точками

ПРИМЕР 2

Площадь трапеции

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

ПРИМЕР 3

Отношение отрезков через подобие

На клетчатой бумаге изображён треугольник $A B C .$ Во сколько раз отрезок $B M$ короче отрезка $C M ?$

Треугольник ABC на клетчатой бумаге, точка M на стороне BC

Что запомнить

Клетка — это линейка. Всё вдоль сетки считай по клеткам, всё наискосок — достраивай до прямоугольного треугольника и находи Пифагором.
Теорема Пифагора, площади фигур и средняя линия есть в справочных материалах КИМ — пользуйся выданным листом, но умей быстро подставлять.
Высота ≠ наклонная сторона, а в площади ромба стоят диагонали, а не стороны.
Любую фигуру с вершинами в узлах можно разбить на прямоугольники и треугольники или достроить до прямоугольника — формулу вспоминать не обязательно.
Формат ответа: число без единиц, десятичная дробь через запятую. Геометрию из первой части (15–19) нельзя пропускать — она закрывает порог «≥ 2 балла за геометрию».

Отработка

Закрепи навык на задачах банка: все задачи типа 18.

Разбери по подтемам: