Степени и корни — ОГЭ

Степени и корни (Задание 8)

В конспекте типа мы разобрали задание 8 целиком. Здесь идём вглубь самой частой его начинки — степеней и корней. В этом подвиде тебе почти никогда не дают одно действие: чаще это цепочка «возвели в степень, умножили, поделили» или «перемножили корни, извлекли». Побеждает не тот, кто быстро считает, а тот, кто сначала сворачивает всё в одну степень одного основания (или под один корень), а арифметику оставляет на последний шаг.

Балл тут один и берётся механически. Твоя задача — довести до автоматизма два приёма: «собери показатели» для степеней и «объедини под один корень» для корней. Разберём оба.

Степени: собери показатели в один

Главная мысль: когда в выражении несколько степеней одного основания, ты не считаешь каждую по отдельности — ты работаешь только с показателями. Складываешь при умножении, вычитаешь при делении, перемножаешь при возведении степени в степень.

ВАЖНОЕ

Действия со степенями — есть в справочных материалах КИМ

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, (ab)^{n} = a^{n} b^{n}, (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

Все шесть свойств напечатаны на выданном листе справочных материалов ОГЭ (раздел «Свойства степени»). Учить наизусть не обязательно — но узнавать нужное и применять мгновенно надо самому, лист за тебя это не сделает.

iЗАМЕЧАНИЕ

А вот этого на листе нет

$a^{0} = 1$ (при $a \neq = 0$ ) в справочных материалах не напечатано — держи в голове. Тоже частый финальный шаг: если показатели схлопнулись в ноль, ответ равен $1 .$

Степени одного основания: работаем только с показателями

✓Разные основания? Разложи на множители

Если основания разные, но раскладываются на одинаковые множители — разложи и приведи к общему основанию: $4 = 2^{2},$ $8 = 2^{3},$ $27 = 3^{3} .$ А степень произведения сразу разбивай: $(3 \cdot 10)^{8} = 3^{8} \cdot 1 0^{8}$ — и дальше считай показатели по каждому основанию отдельно.

Корни: объедини под один корень

С корнями зеркальный приём. Отдельные корни-множители неудобны, а вот один корень из произведения почти всегда извлекается нацело. Поэтому сначала собираем всё под общий знак корня, потом извлекаем.

ВАЖНОЕ

Свойства корня — есть в справочных материалах КИМ

a \cdot b = ab, \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (a ⩾ 0, b > 0)

Обе формулы есть на выданном листе (раздел «Свойства арифметического квадратного корня»). Читаем их в обе стороны: и «разбить корень», и «собрать под один корень» — на ОГЭ чаще нужна именно сборка.

ВАЖНОЕ

Корень из квадрата — этого на листе НЕТ

a^{2} = ∣ a ∣, a^{2 k} = a^{k} (a ⩾ 0)

Этих двух формул в справочных материалах нет — держи в голове. Плюс не забывай про $(a)^{2} = a$ при $a ⩾ 0 :$ квадрат гасит корень.

✓Числа и корни — врозь

В выражении вида $45 \cdot 33$ группируй отдельно числовые множители ( $4 \cdot 3 = 12$ ) и отдельно корни ( $5 \cdot 3 = 15$ ). Так ничего не потеряешь и не перемножишь лишнего.

Алгоритм

АЛГОРИТМ

Как свернуть выражение со степенями и корнями

1. Опознай приём. Одно основание у степеней -> работай с показателями. Несколько корней -> собирай под один корень.
2. Приведи к общему. Разные основания разложи на множители ( $8 = 2^{3}$ ); степень произведения и корень произведения сразу разбей/собери.
3. Сложи показатели (для степеней) или перемножь подкоренные (для корней). Числовые множители у корней группируй отдельно.
4. Извлеки / посчитай маленькое число. Корень бери по таблице квадратов, степень считай только теперь.
5. Запиши ответ числом — целым или конечной десятичной дробью через запятую, без единиц.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Знак показателя при делении

Ошибка: в $\frac{a ^{21}}{a ^{19}}$ сложить показатели или забыть знак: получить $a^{40}$ или $a^{2}$ наугад.
Правильно: при делении показатели вычитаются: $a^{21 - 19} = a^{2} .$ С отрицательными аккуратно: $8^{- 21 - (- 23)} = 8^{- 21 + 23} = 8^{2},$ минус на минус даёт плюс.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ — число, а не запись со степенью или корнем

Ошибка: оставить в бланке $9^{2},$ $225$ или $3^{3} .$
Правильно: доведи до конца: $9^{2} = 81,$ $225 = 15 .$ В бланк идёт итоговое число.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Десятичная дробь — через запятую, без единиц

Ошибка: записать « $0.1$ » с точкой или « $0, 1$ см».
Правильно: в ответах ОГЭ дробь пишется через запятую — 0,1, и никаких единиц или пробелов в бланк.

Разбор задач

Три задачи из нашего банка ОГЭ — на три разных приёма: чистые степени, объединение корней и смешанное выражение.

ПРИМЕР 1

Степени одного основания

Найдите значение выражения $\frac{9 ^{- 6} \cdot 9 ^{15}}{9 ^{7}} .$

ПРИМЕР 2

Собираем корни под один корень

Найдите значение выражения $\frac{51 \cdot 12}{17} .$

ПРИМЕР 3

Смешанное выражение с ответом-дробью

Найдите значение выражения $\frac{( 2 3 ) ^{2}}{120} .$

Отработка

Теория закрепляется только на задачах. Прорешай этот подвид в банке:

Коллекция по подтеме «Степени и корни»: topic-stepeni-i-korni-8-oge
Все задачи задания 8: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-8

Начни с чистых степеней одного основания, потом добавь разные основания и разложение на множители, затем корни. Цель — чтобы «собрать в одну степень» и «объединить под один корень» срабатывало на автомате: тогда задание 8 занимает меньше минуты и приносит стабильный балл.