Задание 8: Числа, вычисления и алгебраические… — ОГЭ

Числа, вычисления и алгебраические выражения (Задание 8)

Задание 8 есть в каждом варианте ОГЭ: тебе дают числовое или буквенное выражение и просят найти его значение. Внутри почти всегда прячутся степени и корни, реже — обыкновенные и десятичные дроби или короткое преобразование по формуле сокращённого умножения. Балл здесь один, но берётся он почти механически: надо просто уверенно тянуть за свойства степеней и корней, а не считать всё «в лоб».

Хорошая новость: гигантские числа тут никогда не нужны. Если ты видишь $5^{6}$ и тянешься за калькулятором, чтобы сначала возвести $5$ в шестую степень, — ты идёшь длинной дорогой. Весь смысл задания в том, чтобы упростить выражение по свойствам, а потом посчитать что-то маленькое.

Подтема: Степени и корни

Это ядро задания 8. Разберёмся, какие свойства нужно держать в голове.

Свойства степеней

ВАЖНОЕ

Действия со степенями

При умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень — перемножаются:

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

ВАЖНОЕ

Отрицательная и нулевая степень

a^{0} = 1 (a \neq = 0), a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

iЗАМЕЧАНИЕ

Зачем это на ОГЭ

Почти любое выражение со степенями в задании 8 сводится к тому, чтобы собрать всё в одну степень одного основания, а уже потом посчитать маленькое число. Возводить $3$ в шестую степень руками не нужно — нужно упростить показатель.

И ещё: свойства степеней от $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ до $(\frac{a}{b})^{n}$ напечатаны на выданном листе справочных материалов ОГЭ. Из свойств корня на листе есть только $ab$ и $\frac{a}{b};$ а вот $a^{0} = 1$ и $a^{2} = ∣ a ∣$ там нет — их держи в голове. Узнавать нужное свойство и применять его надо мгновенно — иначе лист не спасёт.

Корни

ВАЖНОЕ

Корень из степени

Квадратный корень из квадрата равен модулю основания, а корень из чётной степени «уменьшает» показатель вдвое:

a^{2} = ∣ a ∣, a^{2 k} = a^{k} (a ⩾ 0)

ВАЖНОЕ

Корень из произведения и дроби

Корень «распадается» на множители и на дробь:

ab = a \cdot b, \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (a ⩾ 0, b > 0)

Формулы сокращённого умножения

ВАЖНОЕ

ФСУ — есть в справочных материалах КИМ

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}, (a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Эти формулы напечатаны на выданном листе справочных материалов. В задании 8 они помогают свернуть выражение вида $(a - b) (a + b)$ или раскрыть скобки без длинных вычислений.

Алгоритм решения

Когда видишь выражение — не бросайся считать. Сначала упрощай.

АЛГОРИТМ

Как найти значение выражения

1. Определи, что за выражение: чистая степень, корень, дробь или комбинация. От этого зависит, какое свойство применять.
2. Приведи к одному основанию. Разложи числа на множители, если основания разные ( $4 = 2^{2},$ $8 = 2^{3}$ ). Собери всё в одну степень.
3. Упрости показатель или подкоренное выражение по свойствам степеней и корней — так, чтобы осталось посчитать маленькое число.
4. Посчитай финальное число. Только на этом шаге появляется арифметика.
5. Запиши ответ в нужном формате: целое число или конечная десятичная дробь. Проверь, что это именно число, а не выражение.

Разбор задач

Ниже три задачи из нашего банка ОГЭ — от совсем короткой к чуть более длинной. Все три про корень из степени: это самый частый сюжет задания 8.

ПРИМЕР 1

Корень из чётной степени

Найдите значение выражения $4^{4} .$

Корень из степени: сворачиваем показатель

ПРИМЕР 2

Показатель делим пополам

Найдите значение выражения $3^{6} .$

ПРИМЕР 3

Тот же приём, число побольше

Найдите значение выражения $5^{6} .$

✓СОВЕТ

Лайфхак: чётный показатель под корнем

Если под квадратным корнем стоит степень с чётным показателем — просто раздели показатель на $2 .$ $7^{8} = 7^{4},$ $2^{10} = 2^{5} .$ Ни разу не пришлось возводить в большую степень.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа: число, а не выражение

Ошибка: записать в бланк $4^{2}$ или $256 .$
Правильно: ответ задания 8 — это конкретное число. Доведи вычисление до конца: $4^{2} = 16 .$ В бланк идёт 16, а не промежуточная запись.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Десятичная дробь — через запятую, без единиц

Ошибка: написать « $1.5$ » с точкой или « $1, 5$ см».
Правильно: в ответах ОГЭ десятичная дробь пишется через запятую ( $1, 5$ ), и никаких единиц измерения или пробелов в бланк не вносится — только само число.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не путай корень со степенью в основании

Ошибка: посчитать $3^{6}$ как $3^{6} = 729$ и на этом остановиться, забыв про корень; или наоборот — «сократить» корень и степень как взаимно обратные, не проверив показатель.
Правильно: корень и квадрат гасят друг друга только когда показатель чётный: $a^{2 k} = a^{k} .$ Сначала убедись, что показатель делится на $2,$ и лишь потом дели его пополам.

Отработка

Теория закрепляется только на задачах. Прорешай задания этого типа в банке:

Все задачи задания 8: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-8
Коллекция по подтеме «Степени и корни»: topic-stepeni-i-korni-8-oge

Начни с коротких «корень из степени», потом переходи к выражениям с несколькими действиями и ФСУ. Цель — довести приведение к одному основанию до автоматизма: тогда задание 8 будет занимать меньше минуты и приносить стабильный балл.