Статистика, теоремы о вероятностях событий — ОГЭ

Статистика, теоремы о вероятностях событий (Задание 10)

В задании 10 есть три «сюжета», и этот — про два из них, которые удобно держать рядом. Первый: характеристики набора чисел (среднее, мода, медиана, размах) — короткая статистика, где надо не столько считать вероятность, сколько правильно обработать список чисел. Второй: теоремы о вероятностях — приёмы, которые срабатывают, когда события связаны между собой (одно противоположно другому, два события не могут случиться вместе, или опыт идёт в два шага и после первого шага состав меняется).

Общую формулу $P = \frac{m}{n}$ и шкалу вероятности ты уже разобрал в конспекте по всему заданию 10. Здесь мы идём глубже именно в эти два подвида: разберём, как теоремы позволяют не пересчитывать всё «в лоб», и как аккуратно работать со статистикой ряда.

iЗАМЕЧАНИЕ

Чем этот подвид отличается

В «классической» задаче ты просто делишь подходящие на все. Здесь исходов «в лоб» может не быть совсем: тебе дают уже готовую вероятность одного события и просят найти связанное с ним. Значит, главный инструмент — не подсчёт, а связь между вероятностями: сумма, разность, «от противного».

Статистика: характеристики ряда

Когда в условии дан список чисел (оценки, температуры, результаты измерений), от тебя ждут одну из четырёх величин. Все они считаются устно.

ВАЖНОЕ

Среднее арифметическое

x = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Сложи все числа ряда и раздели на их количество $n .$

iЗАМЕЧАНИЕ

Мода, медиана, размах

Мода — число, которое встречается в ряду чаще всего (мод может быть несколько, а может не быть вовсе).
Медиана — «серединное» число, когда ряд выписан по возрастанию. Если чисел нечётное количество — это ровно центральное число; если чётное — среднее арифметическое двух центральных.
Размах — разность между наибольшим и наименьшим числом ряда.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Медиана — сначала упорядочи!

Самая частая ошибка в статистике: искать медиану в том порядке, в каком числа записаны в условии. Медиана считается только по упорядоченному ряду. Забыл отсортировать — почти наверняка получишь неверное «центральное» число.

Теоремы о вероятностях: противоположные события

Приём «от противного» — когда прямо посчитать сложно, а «наоборот» легко.

ВАЖНОЕ

Вероятность противоположного события

P (A) + P (A) = 1 ⟹ P (A) = 1 - P (A)

Событие $A$ («не $A$ ») противоположно $A :$ ровно одно из них обязательно произойдёт, а вместе они произойти не могут. Поэтому их вероятности в сумме дают единицу.

iЗАМЕЧАНИЕ

Несовместные события — вероятности складываются

Если события $A$ и $B$ не могут случиться одновременно (несовместны), то вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна сумме их вероятностей:

P (A или B) = P (A) + P (B) .

Противоположные события — частный случай: они несовместны и вместе покрывают вообще все исходы, поэтому их сумма равна ровно $1 .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Этих формул НЕТ в справочных материалах

Ни формула $P = \frac{m}{n},$ ни правило $P (A) = 1 - P (A),$ ни характеристики ряда не входят в лист «Справочные материалы» ОГЭ (там только алгебра и геометрия). Держи их в голове — благо, запомнить нужно совсем немного.

Опыт в два шага: состав меняется

Отдельный сюжет топика — «достали два предмета подряд». Первый шаг уже случился (в условии написано, чем он кончился), и ты ищешь вероятность второго шага. Хитрость в том, что после первого шага и общее число предметов, и число нужных уменьшается на один — их надо пересчитать заново.

АЛГОРИТМ

Как решать задачу этого топика

1. Пойми тип задачи. Дан набор чисел -> это статистика (среднее / мода / медиана / размах). Дана вероятность одного события -> ищи связь (противоположное или сумма). «Достали два подряд» -> пересчёт состава.
2. Для статистики: для медианы сперва упорядочи ряд по возрастанию.
3. Для противоположного события: запиши $P = 1 - P (данного) .$
4. Для двух шагов: вычти из общего числа и из числа нужных по одному ( $n \to n - 1,$ $m \to m - 1$ ), затем $P = \frac{m}{n} .$
5. Сократи дробь и переведи в десятичную, если деление точное.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

Ответ — просто число, без единиц и без слова «вероятность».
Десятичную дробь пиши через запятую: $0, 48,$ а не $0.48$ и не « $48%$ ».
Вероятность обязана лежать в промежутке $0 ⩽ P ⩽ 1 .$ Получил $1, 2$ или $- 0, 3$ — ищи ошибку.
В задаче «два подряд» не забудь уменьшить оба числа. Уменьшил только общее (а нужное оставил) — ответ будет завышен.

Разбор задач

ПРИМЕР 1

Хорошая ручка

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна $0, 2 .$ Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

ПРИМЕР 2

Два зелёных карандаша

Из ящика, где хранятся 13 жёлтых и 13 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.

ПРИМЕР 3

Карандаши другого состава

Из ящика, где хранятся 12 жёлтых и 9 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.

Что запомнить

Статистика считается устно: среднее — сумма делить на количество; медиана — центр упорядоченного ряда; мода — самое частое; размах — «максимум минус минимум».
Противоположное событие: $P (A) = 1 - P (A)$ — главный приём «от противного».
Несовместные события: вероятность «хотя бы одного» — это сумма вероятностей.
Два предмета подряд: после первого шага уменьшай на один и общее число, и число нужных.
Всех этих формул нет в справочных материалах — учи наизусть.

Отработка

Закрепи навык на живом банке задач:

Коллекция топика: topic-statistika-teoremy-10-oge
Все задачи задания 10: Задание 10 — Статистика, вероятности