Задание 10: Статистика, вероятности — ОГЭ

Статистика, вероятности (Задание 10)

Задание 10 — это «вероятностный» вопрос первой части ОГЭ. Тебе дают короткую житейскую историю (билеты на экзамене, ручки в магазине, карандаши в ящике, бросок кубика) и просят найти вероятность какого-то события. Балл всего один, но берётся он почти без вычислений — если ты понял главную формулу.

Хорошая новость: почти все задачи 10 сводятся к одному действию — «посчитай, сколько всего исходов, и сколько из них подходящих, и раздели». Разберёмся, как это делать быстро и без ошибок, а заодно посмотрим, что делать, когда события связаны в цепочку (дерево вероятностей) или когда проще искать вероятность «от противного».

Под-темы этого задания:

Классические вероятности — считаем «сколько подходит из скольких всего».
Статистика, теоремы о вероятностях событий — противоположные и несовместные события, сумма вероятностей.
Диаграммы событий, деревья вероятностей — когда опыт состоит из нескольких шагов подряд.

iЗАМЕЧАНИЕ

Что такое вероятность

Вероятность события — это число от $0$ до $1,$ которое показывает, насколько часто событие происходит. $0$ — событие невозможно (никогда), $1$ — достоверно (всегда), $0, 5$ — «пятьдесят на пятьдесят». Любая вероятность подчиняется неравенству $0 ⩽ P ⩽ 1 :$ если у тебя получилось число больше единицы или отрицательное — где-то ошибка.

Классическая вероятность

Это главная формула всего задания. Работает, когда все исходы опыта равновозможны (кубик честный, билеты одинаковые, карандаши не отличаются на ощупь).

ВАЖНОЕ

Классическое определение вероятности

P = \frac{m}{n}

где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число благоприятных исходов (тех, которые нас устраивают).

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Этой формулы НЕТ в справочных материалах

В отличие от геометрии и алгебры, формулы вероятности не входят в лист «Справочные материалы», который выдают на ОГЭ. Их придётся знать наизусть — благо, запомнить нужно всего одну дробь «подходящие делить на все».

АЛГОРИТМ

Как решать задачу на классическую вероятность

1. Найди $n$ — сколько всего равновозможных исходов (сколько всего билетов, карандашей, граней у кубика).
2. Найди $m$ — сколько исходов благоприятны (сколько билетов выучено, сколько зелёных карандашей). Часто удобнее сначала посчитать «плохие», а потом вычесть: $m = n - (плохие) .$
3. Раздели $P = \frac{m}{n}$ и сократи дробь.
4. Переведи в десятичную дробь, если деление точное (получается конечная дробь): например $\frac{36}{40} = 0, 9 .$

ПРИМЕР 1

Билеты на экзамене

На экзамене 40 билетов, Яша не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Теоремы о вероятностях: противоположные события

Иногда искать «хорошие» исходы напрямую долго, а вот «плохие» посчитать легко. Тогда работает приём «от противного».

ВАЖНОЕ

Вероятность противоположного события

P (A) + P (A) = 1 ⟹ P (A) = 1 - P (A)

Событие $A$ («не $A$ ») противоположно $A :$ ровно одно из них обязательно произойдёт, а вместе они произойти не могут.

iЗАМЕЧАНИЕ

Когда события несовместны

Если события $A$ и $B$ не могут случиться одновременно (несовместны), то вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из них, равна сумме их вероятностей:

P (A или B) = P (A) + P (B) .

Противоположные события — частный случай: они несовместны и вместе покрывают вообще все исходы, поэтому их сумма равна $1 .$

ПРИМЕР 2

Хорошая ручка

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна $0, 2 .$ Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Диаграммы событий и деревья вероятностей

Когда опыт идёт в несколько шагов (сначала достали один карандаш, потом второй; сначала первый пенальти, потом второй), удобно нарисовать дерево: каждая «развилка» — очередной шаг, на ветках пишут вероятности.

ВАЖНОЕ

Умножение вероятностей вдоль ветки

Вероятность того, что произойдёт цепочка событий (сначала одно, потом другое), равна произведению вероятностей вдоль ветки дерева:

P = p_{1} \cdot p_{2} \cdot \dots

А чтобы получить вероятность интересующего исхода, складывают вероятности всех веток, которые к нему ведут.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Меняется ли состав после первого шага?

Ключевой вопрос в задачах с деревом: возвращают предмет обратно или нет. Если карандаш не вернули, то на втором шаге и общее число, и число нужных карандашей уменьшается на один — исходы для второго шага пересчитываются заново.

ПРИМЕР 3

Два карандаша подряд

Из ящика, где хранятся 11 жёлтых и 10 зелёных карандашей, не глядя достали два карандаша. Известно, что первый карандаш оказался зелёным. Найдите вероятность того, что второй карандаш тоже оказался зелёным.

Немного статистики

Иногда в задании 10 (и в статистической части банка) встречаются характеристики набора чисел. Их полезно знать, хотя в справочный лист они тоже не входят.

ВАЖНОЕ

Среднее арифметическое

x = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

Сумму всех чисел делят на их количество.

iЗАМЕЧАНИЕ

Мода, медиана, размах

Мода — число, которое встречается чаще всего.
Медиана — «серединное» число, если ряд выписать по возрастанию (при чётном количестве — среднее двух центральных).
Размах — разность между наибольшим и наименьшим числом ряда.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

Ответ вписывают без единиц измерения и без слова «вероятность» — просто число.
Если получается десятичная дробь, пиши её через запятую: $0, 9,$ а не $0.9$ и не « $90%$ ».
Обыкновенную дробь ( $\frac{2}{5}$ ) в бланк лучше перевести в десятичную ( $0, 4$ ), если деление точное. Если не делится нацело — оставляй несократимую дробь, следуя указанию в условии.
Проверь себя: вероятность обязана попадать в промежуток $0 ⩽ P ⩽ 1 .$ Ответ вроде $1, 2$ или $- 0, 3$ невозможен.

✓СОВЕТ

Быстрая самопроверка

Если «хороших» исходов больше половины — ответ должен быть больше $0, 5;$ если меньше — меньше $0, 5 .$ Прикинь на глаз до вычислений: в примере с билетами выучено почти всё, значит ответ близок к $1$ (и правда $0, 9$ ).

Что запомнить

Одна формула на всё задание: $P = \frac{m}{n}$ — подходящие делить на все.
«От противного» ( $P = 1 - P (A)$ ) экономит время, когда плохих исходов мало.
Многошаговый опыт — рисуй дерево: вдоль ветки перемножай, параллельные ветки складывай, и следи, меняется ли состав после первого шага.
Формул вероятности нет в справочных материалах — держи их в голове.

Отработка

Закрепи навык на живом банке задач и подборках по под-темам:

Все задачи типа: Задание 10 — Статистика, вероятности
Классические вероятности: коллекция topic-klassicheskie-veroyatnosti-10-oge
Статистика, теоремы о вероятностях: коллекция topic-statistika-teoremy-10-oge
Диаграммы событий, деревья вероятностей: коллекция topic-diagrammy-derevya-10-oge