Средняя линия — ОГЭ

Средняя линия (Задание 18)

Внутри задания 18 «Средняя линия» — самый предсказуемый подвид: тут почти нечего искать наискосок и почти нечего доказывать. Тебе дают на клетчатой бумаге треугольник или трапецию, а спрашивают длину средней линии. И треугольник, и трапеция устроены так, что нужные тебе стороны лежат вдоль линий сетки — то есть считаются прямо по клеткам. Дальше одна формула, деление на два, и ответ готов.

Отдельная тонкость этого подвида: иногда среднюю линию не называют средней линией. В условии просто есть отрезок $A B$ где-то посередине фигуры, и надо сообразить, что он соединяет середины сторон, а значит это и есть средняя линия. Такие задачи разберём отдельно — они чуть хитрее, но идея та же.

Помни про правило ОГЭ: для отметки выше «2» нужно набрать не менее 2 баллов за геометрию (задания 15–19 и 23–25). Задание 18 — одно из самых лёгких геометрических, и терять на нём балл нельзя.

Две формулы этого подвида

Всё, что тут нужно, — два свойства средней линии. Оба есть в справочных материалах КИМ: на экзамене их выдадут на отдельном листе, учить наизусть не обязательно, но уметь мгновенно подставлять числа — надо.

ВАЖНОЕ

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине:

m_{△} = \frac{a}{2},

где $a$ — та сторона, которой средняя линия параллельна.

Средняя линия треугольника, параллельная основанию

ВАЖНОЕ

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме:

m_{трап} = \frac{a + b}{2},

где $a$ и $b$ — основания (две параллельные стороны).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

✓СОВЕТ

Треугольник — частный случай трапеции

Обе формулы — одна и та же идея. Если у трапеции верхнее основание «схлопнуть» в точку ( $b = 0$ ), получится треугольник, и $\frac{a + b}{2} = \frac{a}{2} .$ Достаточно помнить одну формулу — полусумму оснований, — а для треугольника просто считать второе основание нулём.

Алгоритм решения

Как найти среднюю линию

1. Определи фигуру: треугольник или трапеция. От этого зависит, что складывать.
2. Найди основания — те стороны, которым средняя линия параллельна. В треугольнике это указанная в условии сторона (часто «параллельная стороне $A C$ »); в трапеции — две горизонтальные параллельные стороны.
3. Посчитай длины оснований по клеткам. Они лежат на линиях сетки — просто сосчитай клетки от узла до узла.
4. Подставь в формулу: треугольник — $\frac{a}{2},$ трапеция — $\frac{a + b}{2} .$
5. Запиши ответ в нужном формате: целое число или десятичную дробь через запятую.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

На чём теряют балл именно здесь

Боковые стороны не складывают. В формулу средней линии трапеции идут только основания (параллельные, горизонтальные стороны), а не наклонные боковые. Наклонную сторону вообще не трогаем.
Треугольник: сторона, которой параллельна. Если просят среднюю линию, «параллельную стороне $A C$ », бери в формулу именно $A C,$ а не $A B$ и не $B C .$ У треугольника три разные средние линии.
Забыли поделить на два. Полусумма — это сумма, делённая на 2. Частая описка: посчитали $a + b$ и записали как ответ.
Формат ответа. Ответ — просто число, без «см». Если получилась дробь, пиши её через запятую: $2, 5,$ а не $2.5$ и не $5/2 .$
Считай клетки по узлам, а не на глаз. Длину основания сверяй по узлам сетки — наклонные боковые стороны сбивают глазомер.

iЗАМЕЧАНИЕ

Замаскированная средняя линия

Иногда в условии нет слов «средняя линия»: просто дан отрезок $A B$ внутри треугольника, концы которого делят стороны пополам. Проверь по клеткам: если $A$ и $B$ — середины сторон (по горизонтали и по вертикали до них ровно половина), то $A B$ — средняя линия, и работает та же формула $A B = \frac{a}{2} .$ Строже это следует из теоремы Фалеса: параллельные линии сетки отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Примеры решения задач

Три задачи от простой к составной: треугольник, трапеция и «замаскированная» средняя линия.

ПРИМЕР 1

Средняя линия треугольника

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $A B C .$ Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $A C .$

Треугольник ABC на клетчатой бумаге, средняя линия параллельна AC

ПРИМЕР 2

Средняя линия трапеции

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Трапеция на клетчатой бумаге, основания 10 и 2 клетки

ПРИМЕР 3

Замаскированная средняя линия

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена фигура. Найдите длину отрезка $A B$ по данным чертежа.

Треугольная фигура, отрезок AB соединяет середины боковых сторон

Что запомнить

Треугольник: средняя линия $= \frac{a}{2}$ (половина той стороны, которой она параллельна). Трапеция: $= \frac{a + b}{2}$ (полусумма оснований). Обе формулы есть в справочных материалах КИМ.
В трапеции складывай только основания (горизонтальные, параллельные стороны); наклонные боковые не трогай.
Нет слов «средняя линия» — проверь, не делят ли концы отрезка стороны пополам: если да, это она же.
Не забудь поделить на 2. Ответ — число без единиц, дробь — через запятую ( $2, 5$ ).
Геометрию из первой части (15–19) нельзя пропускать: она закрывает порог « $⩾ 2$ балла за геометрию».

Отработка

Закрепи навык на подборке этого топика: Средняя линия.

Больше клетчатых задач всех подвидов — в банке задач типа 18.