Сравнение чисел — ОГЭ

Сравнение чисел (Задание 7)

Внутри задания 7 это самый частый подвид: тебе дают два числа-границы и спрашивают, какое из предложенных чисел заключено между ними. Иногда границы — обыкновенные дроби ( $\frac{8}{15}$ и $\frac{12}{19}$ ), иногда просят сказать, между какими соседними целыми числами лежит одна дробь или корень. Суть одна: надо расставить числа по порядку и понять, кто где стоит.

В отличие от подтемы «Неравенства», где на прямой стоят буквы $a$ и $b$ и надо жонглировать знаками, здесь всё честно и конкретно — это настоящие числа, которые можно просто посчитать и сравнить. Главный инструмент — перевод дробей в десятичные: как только у всех чисел одинаковый вид, сравнить их — дело двух-трёх цифр после запятой.

Ответ, как и во всём задании 7, — это номер варианта (цифра $1$ – $4$ ), а не само число.

Перевод дроби в десятичную — главный приём

Чтобы сравнить дроби, переведи каждую в десятичную: раздели числитель на знаменатель уголком.

ВАЖНОЕ

Дробь в десятичную

\frac{p}{q} = p : q .

Например, $\frac{8}{15} = 8 : 15 = 0, 5333 \dots,$ а $\frac{19}{8} = 19 : 8 = 2, 375.$

✓СОВЕТ

Дели ровно настолько, насколько нужно

Границы обычно отличаются уже во втором-третьем знаке после запятой. Как только этого хватает, чтобы понять порядок, — деление можно бросать. Считать дробь «до конца» не нужно: $0, 53 \dots$ и $0, 63 \dots$ различаются уже в разряде десятых.

Число, заключённое между двумя дробями на координатной прямой

Как понять, какая дробь больше, без десятичных

Иногда делить лень или числа некрасивые. Тогда сравни две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ «крест-накрест».

ВАЖНОЕ

Сравнение дробей крест-накрест

Для положительных дробей

\frac{a}{b} ≶ \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d ≶ b \cdot c .

Умножаешь числитель одной на знаменатель другой; какое произведение больше — та дробь и больше.

iЗАМЕЧАНИЕ

Почему это работает

Приводить к общему знаменателю $b d$ и сравнивать числители — то же самое, что сравнивать $a \cdot d$ и $c \cdot b .$ Знаменатель $b d$ у обеих дробей одинаковый и положительный, поэтому он на знак неравенства не влияет.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Крест-накрест — только для положительных дробей

Если среди дробей есть отрицательные, этот приём даёт сбой (умножение на отрицательное переворачивает знак). Тогда надёжнее перевести в десятичные и смотреть на прямую: правее — больше.

Между какими целыми числами лежит дробь

Отдельная формулировка: «Между какими целыми числами заключено число $\frac{p}{q} ?$ » Здесь удобно делить с остатком — целая часть сразу даёт левую границу.

ВАЖНОЕ

Деление с остатком

p = q \cdot n + r, 0 ⩽ r < q ⟹ n < \frac{p}{q} < n + 1 (при r \neq = 0) .

Целая часть $n$ — левое целое, $n + 1$ — правое.

Алгоритм

Как решать сравнение чисел

1. Переведи границы в десятичные. Раздели числитель на знаменатель уголком — по 3–4 знака после запятой. Для «между целыми» дели с остатком; для корня — зажми соседними квадратами.
2. Запиши двойное неравенство для искомого числа: $(левая граница) < x < (правая граница) .$
3. Проверь каждый вариант. Подставляй числа из ответов и смотри, попадает ли оно в промежуток. Не попавшие сразу вычёркивай.
4. Запиши номер подходящего варианта — цифру $1$ – $4,$ а не само число.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не путай, где левая граница, а где правая

$\frac{8}{15} \approx 0, 53$ меньше, чем $\frac{12}{19} \approx 0, 63,$ хотя числители и знаменатели у второй дроби больше. Всегда сначала посчитай обе границы и только потом решай, какая левее. «Больший числитель» ещё не значит «большая дробь».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Сравнивай по разрядам, а не по длине записи

$0, 5 > 0, 4285 \dots,$ хотя вторая запись длиннее. Выровняй разряды (при желании допиши нули: $0, 5 = 0, 5000$ ) и сравнивай слева направо: сначала десятые, потом сотые.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ — номер варианта

Нашёл, что подходит число $0, 6,$ и это вариант $3 ?$ В бланк идёт $3$ , а не « $0, 6$ ». Одна цифра.

Примеры

ПРИМЕР 1

Число между двумя дробями

Какое из следующих чисел заключено между числами $\frac{8}{15}$ и $\frac{12}{19} ?$

1) 0,4 2) 0,5 3) 0,6 4) 0,7

ПРИМЕР 2

Границы — неправильные дроби

Какое из следующих чисел заключено между числами $\frac{19}{8}$ и $\frac{17}{7} ?$

1) 2,3 2) 2,4 3) 2,5 4) 2,6

ПРИМЕР 3

Между какими целыми числами

Между какими целыми числами заключено число $\frac{190}{17} ?$

1) 10 и 11 2) 11 и 12 3) 12 и 13 4) 13 и 14

Что запомнить

Переведи в десятичные и сравнивай по разрядам. 3–4 знака после запятой почти всегда решают.
Крест-накрест ( $a \cdot d$ против $b \cdot c$ ) сравнивает две положительные дроби без деления.
«Между целыми» — дели с остатком: целая часть даёт левое число, следующее целое — правое.
Ответ — номер варианта ( $1$ – $4$ ), а не найденное число.

Отработка

Закрепи навык на банке: сравнение чисел — подборка топика.

Больше задач этого типа: все задачи задания 7.