Задание 7: Числовые неравенства, координатная… — ОГЭ

Числовые неравенства, координатная прямая (Задание 7)

Седьмое задание ОГЭ — это короткая, но очень частая проверка того, умеешь ли ты сравнивать числа и понимать, как они расположены на координатной прямой. Тебе дают несколько чисел (обыкновенные и десятичные дроби, корни, выражения с буквами) и просят либо выбрать верное неравенство, либо сказать, между какими числами лежит данное число, либо указать промежуток, которому оно принадлежит.

Ответ здесь — не само число, а номер варианта (цифра от 1 до 4). Это задание с выбором ответа, и главная ценность — не потерять лёгкий первичный балл из-за невнимательности со знаками или десятичной запятой.

Тема собирает три подтемы, которые встречаются в этом задании:

Неравенства (neravenstva) — сравнение чисел с буквами, знаки произведения и суммы, модуль.
Сравнение чисел (sravnenie-chisel) — какое из чисел больше, какое лежит между двумя данными.
Числа на прямой (chisla-na-pryamoy) — оценка корней и дробей соседними целыми.
Число на координатной прямой (chislo-na-koordinatnoy-pryamoy) — какому промежутку принадлежит число.

Координатная прямая с отмеченными числами

Как устроена координатная прямая

Всё сравнение чисел держится на одном простом правиле: чем правее число стоит на прямой, тем оно больше.

ВАЖНОЕ

Порядок на координатной прямой

Для любых двух чисел $a$ и $b :$

a < b ⟺ точка a лежит левее точки b .

Ноль делит прямую надвое: слева — отрицательные числа, справа — положительные.

iЗАМЕЧАНИЕ

Модуль — это расстояние

Модуль числа $∣ a ∣$ — это расстояние от точки $a$ до нуля, оно всегда неотрицательно. Поэтому у числа $- 7$ модуль больше, чем у числа $3 :$ точка $- 7$ дальше от нуля, хотя само число $- 7$ меньше. Не путай «какое число больше» и «у какого больше модуль».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Минус переворачивает порядок

Среди отрицательных чисел больше то, что ближе к нулю: $- 2 > - 5,$ хотя $2 < 5 .$ Частая ошибка — сравнивать отрицательные «как обычные». Смотри на прямую: $- 2$ правее $- 5,$ значит $- 2$ больше.

Сравнение дробей

Чтобы понять, какое из чисел больше или лежит ли число между двумя другими, удобнее всего перевести все дроби в десятичные — то есть просто разделить числитель на знаменатель уголком.

ВАЖНОЕ

Перевод дроби в десятичную

\frac{p}{q} = p : q .

Например, $\frac{2}{9} = 2 : 9 = 0, 2222 \dots,$ а $\frac{110}{13} = 110 : 13 = 8, 46 \dots$

✓СОВЕТ

Достаточно 2–3 знаков после запятой

Чтобы сравнить числа, не нужно делить до конца — хватит двух-трёх десятичных знаков. Как только разряды начали различаться, ответ уже виден: $0, 89 \dots$ меньше, чем $0, 92 \dots,$ дальше делить незачем.

Оценка корней и дробей на прямой

Часто просят сказать, между какими целыми числами лежит корень или дробь. Корень из числа удобно «зажать» между двумя соседними точными квадратами.

ВАЖНОЕ

Корень между соседними квадратами

Если $n^{2} < x < (n + 1)^{2},$ то, извлекая корень (функция $x$ возрастает при $x ⩾ 0$ ),

n < x < n + 1.

Корень между двумя точными квадратами на прямой

Знаки и буквы на прямой

Если на прямой отмечены буквы $a$ и $b,$ сначала «считай» с рисунка их знаки и модули, а потом проверяй неравенства по правилам знаков.

ВАЖНОЕ

Правила знаков

(-) \cdot (-) = (+), (-) \cdot (+) = (-), (+) \cdot (+) = (+) .

Квадрат любого ненулевого числа положителен: $a^{2} > 0 .$

Числа a и b на координатной прямой со знаками

Алгоритм решения

АЛГОРИТМ

Как решать задание 7

1. Приведи к сравнимому виду. Все дроби переведи в десятичные (раздели числитель на знаменатель), а корни оцени соседними квадратами.
2. Расставь числа мысленно на прямой. Учитывай знак: отрицательные — слева от нуля, положительные — справа.
3. Проверь каждый вариант по правилам знаков и порядка. Для неравенств с буквами сначала выпиши с рисунка знаки $a,$ $b$ и сравнение модулей.
4. Выбери подходящий вариант и запиши его номер. Ответ — цифра $1$ – $4,$ а не само число.

Типовые ловушки

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Ответ — номер варианта, а не число

В задании 7 в бланк пишут номер правильного варианта (одну цифру). Если нашёл, что число лежит между $8$ и $9,$ а это вариант $1$ — в ответ идёт $1,$ а не « $8$ » и не « $8, 9$ ».

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Десятичная запятая и лишние нули

$0, 8$ — это восемь десятых, а не «восемь». Сравнивай по разрядам: $0, 8 < 0, 89,$ потому что в разряде сотых у первого числа стоит $0 .$ Дописывать нули справа можно ( $0, 8 = 0, 80$ ) — это помогает выровнять разряды.

Примеры

ПРИМЕР 1

Оценка корня

Между какими числами заключено число $73 ?$

1) 8 и 9 2) 72 и 74 3) 24 и 26 4) 4 и 5

ПРИМЕР 2

Число между двумя дробями

Какое из следующих чисел заключено между числами $\frac{17}{19}$ и $\frac{13}{14} ?$

1) 0,6 2) 0,7 3) 0,8 4) 0,9

ПРИМЕР 3

Знаки на координатной прямой

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ (точка $a$ левее нуля и дальше от него, точка $b$ правее нуля).

Какое из следующих неравенств верно?

1) $a b^{2} < 0$ 2) $b - a < 0$ 3) $ab > 0$ 4) $a + b > 0$

Что запомнить

Правее — больше. Всё сравнение — это расположение чисел на прямой; ноль отделяет отрицательные от положительных.
Дроби — в десятичные, корни — между квадратами. Два-три знака после запятой почти всегда решают.
Ответ — номер варианта ( $1$ – $4$ ), а не найденное число.

Отработка

Закрепи навык на банке задач: все задачи типа 7.

Разбери по подтемам: