Задачи на совместную работу — ОГЭ

Задачи на совместную работу (Задание 21)

В конспекте по всему заданию 21 ты видел четыре сюжета: проценты, движение по прямой, движение по воде и совместную работу. Здесь разберём последний подробно — потому что у него внутри прячутся два разных типа задач, и их легко перепутать.

Первый тип — классический «работают вместе»: два насоса качают в один бак, два комбайна убирают одно поле, двое красят один забор. Тут производительности складываются. Второй тип — «кто быстрее» — как раз тот, что чаще всего встречается в реальных вариантах ОГЭ: две трубы или два рабочих делают одинаковый объём, но с разной скоростью, и известна разница во времени. Такая задача приводит к дробно-рациональному, а значит и к квадратному уравнению. Именно на нём мы и сосредоточимся.

iЗАМЕЧАНИЕ

Что общего у обоих типов

Ключевое понятие — производительность: сколько работы делается за единицу времени. Стоит правильно записать производительность каждого «работника» — и уравнение складывается почти само. Задание стоит 2 балла, оформляй решение так, чтобы был виден каждый шаг: что за $x,$ откуда уравнение, почему выбран именно этот корень.

Опорные формулы и модель

Все формулы этого подвида надо знать наизусть: в справочных материалах ОГЭ их нет (там квадраты, ФСУ, прогрессии, геометрия). А вот формула корней квадратного уравнения на выданном листе есть — и она тебе понадобится почти в каждой задаче на «кто быстрее».

ВАЖНОЕ

Работа, производительность, время

A = P \cdot t, P = \frac{A}{t}, t = \frac{A}{P}

$A$ — весь объём работы (литры бака, число деталей), $P$ — производительность (литров в минуту, деталей в час), $t$ — время. Та же «треугольная» связь, что путь–скорость–время.

ВАЖНОЕ

Совместная работа: производительности складываются

Если первый делает всю работу за $t_{1},$ а второй — за $t_{2},$ то вместе за час они делают $\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}$ доли работы, и общее время:

\frac{1}{t _{общ}} = \frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}

Это для случая, когда работают одновременно. В задачах «кто быстрее» они работают по отдельности — там нужна другая связь (см. ниже).

ВАЖНОЕ

Разные скорости — разное время

Пусть производительность первого — $x,$ а второго отличается на известное число $d$ (быстрее или медленнее). Один и тот же объём $A$ каждый делает за своё время: $\frac{A}{x}$ и $\frac{A}{x \pm d} .$ Разница этих времён известна и равна $τ :$

\frac{A}{медленный} - \frac{A}{быстрый} = τ

Две трубы наполняют один резервуар с разной скоростью

✓СОВЕТ

Кто в знаменателе больше — тот медленнее

Больше времени тратит тот, у кого меньше производительность. В разности времён из большего времени вычитаем меньшее, чтобы справа стояло положительное число. Перепутаешь порядок — получишь отрицательную разницу и запутаешься в знаках.

Алгоритм решения

Схема для задач «кто быстрее» (труба/рабочий) — самого частого варианта в ОГЭ.

Как решать задачу на совместную работу

1. Обозначь производительность. Пусть $x$ — сколько литров в минуту (деталей в час) делает тот объект, о котором удобнее (часто — с меньшей скоростью, чтобы вторая была $x + d$ ). Запиши единицы.
2. Вырази вторую производительность через $x :$ на $d$ больше — это $x + d,$ на $d$ меньше — это $x - d .$ Отметь ограничение (производительность положительна; если вычитаешь — $x > d$ ).
3. Запиши время каждого как $\frac{A}{производительность} .$
4. Составь уравнение по разнице времён: из большего времени вычти меньшее и приравняй к данной разнице $τ .$
5. Избавься от дробей: умножь обе части на общий знаменатель — получишь квадратное уравнение.
6. Реши через дискриминант (формула корней — в справочных материалах) и отбери корень: производительность и время положительны.
7. Ответь на вопрос задачи. Проверь, о ком спрашивают — о первом или о втором. Часто $x$ — не то, что просят найти.

Типовые ловушки ОГЭ

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Спрашивают не про то, что ты обозначил

Самая обидная ошибка этого подвида. Ты обозначил за $x$ производительность второго рабочего, решил уравнение — и записал $x$ в ответ. А в вопросе: «Сколько деталей делает первый?» Тогда ответ — $x + d,$ а не $x .$ Перед записью ответа перечитай последнее предложение условия.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Не тот корень

Квадратное уравнение даёт два корня, но производительность положительна. Отрицательный корень отбрасывай и явно напиши почему — эксперт снимает балл, если пропустить обоснование. Если вторая величина $x - d,$ то ещё нужно $x > d .$

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Формат ответа

В бланк — только число, без «л/мин», «деталей» и прочих слов. Десятичную дробь пиши через запятую ( $7, 5,$ а не $7.5$ ). Обыкновенную дробь доведи до конечного числа.

✓СОВЕТ

Проверяй правдоподобие

Подставь найденное в условие: посчитай оба времени и их разницу — должна получиться данная $τ .$ Быстрый объект (большая производительность) тратит меньше времени. Если наоборот — где-то ошибка.

Разбор задач

Три задачи из банка: труба, рабочий и труба с проверкой «о ком спрашивают».

ПРИМЕР 1

Две трубы: разница во времени

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая труба?

ПРИМЕР 2

Два рабочих

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

ПРИМЕР 3

Труба: следи, о ком спрашивают

Первая труба пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба?

Отработка

Разобрал теорию — закрепи на задачах банка.

Совместная работа (этот сюжет): /math/oge-math/collections/topic-sovmestnaya-rabota-21-oge
Все задачи задания 21: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-21