Системы уравнений — ОГЭ

Системы уравнений (Задание 20)

Это третий из подвидов задания 20, и узнать его проще всего: перед двумя уравнениями стоит фигурная скобка ${,$ а неизвестных две — $x$ и $y .$ В конспекте типа мы уже разобрали, что задание 20 берётся уверенно на 2 балла; здесь копаем глубже именно в системы: какие два-три приёма закрывают почти все системы ОГЭ и в каком виде записывать ответ, чтобы балл не срезали.

Главное отличие от уравнений и неравенств: ответ — это не число, а пара чисел $(x; y) .$ И почти всегда таких пар несколько, потому что после подстановки вылезает $x = \pm 1$ или $y = \pm 3$ — два значения там, где хочется написать одно.

Систем на ОГЭ в задании 20 три сорта, и под каждый — свой приём:

$y$ выражен в обоих уравнениях (стоит слева или легко переносится) — метод подстановки.
одна переменная стоит с противоположными знаками ( $+ y$ и $- y$ ) — метод сложения.
левая часть одного уравнения кратна левой части другого — приём пропорции (самый частый «хитрый» тип).

Три приёма топика

ВАЖНОЕ

Метод сложения (исключение переменной)

Если одна переменная входит в уравнения с противоположными знаками, сложи уравнения почленно — она уничтожится:

{a_{1} x^{2} + y = b_{1}, a_{2} x^{2} - y = b_{2} + (a_{1} + a_{2}) x^{2} = b_{1} + b_{2} .

Остаётся одно уравнение с одной буквой.

ВАЖНОЕ

Метод подстановки

Если в обоих уравнениях слева стоит одна и та же буква (обычно $y$ ), приравняй правые части — получишь одно уравнение только с $x :$

{y = f (x), y = g (x) \Rightarrow f (x) = g (x) .

Дальше это, как правило, квадратное уравнение — решаем через дискриминант.

ВАЖНОЕ

Корни квадратного уравнения

После подстановки почти всегда получается $a x^{2} + b x + c = 0 :$

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .

Эта формула есть в справочных материалах КИМ — учить наизусть не обязательно, но пользоваться ей надо мгновенно.

iЗАМЕЧАНИЕ

Приём «одно уравнение кратно другому»

Присмотрись к левым частям: бывает, что вся левая часть второго уравнения — это первая, умноженная на число. Например $9 x^{2} + 6 y^{2} = 3 (3 x^{2} + 2 y^{2}) .$ Тогда вместо скобки сразу подставляешь готовое число из первого уравнения — и второе уравнение мгновенно превращается в линейное относительно $x .$ Это самый частый «хитрый» тип систем на ОГЭ.

АЛГОРИТМ

Как решать систему

1. Посмотри на структуру. Слева $y$ в обоих — подстановка; переменная с разными знаками — сложение; левая часть кратна — пропорция.
2. Убери одну переменную выбранным приёмом — останется одно уравнение с одной буквой.
3. Реши его. Чаще всего это $x^{2} = a$ (тогда $x = \pm a$ ) или квадратное через дискриминант.
4. Найди вторую переменную: подставь каждое найденное значение обратно в простое уравнение системы.
5. Собери пары $(x; y)$ — по паре на каждое значение первой переменной.
6. Проверь хотя бы одну пару подстановкой в оба исходных уравнения.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Типичные потери балла

Забыл второй корень. $x^{2} = 1$ — это $x = 1$ и $x = - 1,$ а не одно значение. Каждому даёт свою пару.
Записал не пары, а вперемешку. Ответ системы — набор пар $(x; y),$ а не « $x = \dots, y = \dots$ » отдельными кучками. Держи $x$ и $y$ вместе в скобке.
Один $y$ на два $x .$ Если при обоих $x$ вышло одно и то же $y$ (так бывает, когда $y$ зависит от $x^{2}$ ), всё равно пиши две пары: $(1; 2)$ и $(- 1; 2) .$
Десятичные — через запятую: $2, 5,$ а не $2.5 .$

Разбор задач из банка

Три примера — по одному на каждый приём: сложение, пропорция, подстановка.

ПРИМЕР 1

Метод сложения

Решите систему уравнений ${2 x^{2} + y = 4, 4 x^{2} - y = 2.$

ПРИМЕР 2

Приём «кратно»

Решите систему уравнений ${3 x^{2} + 2 y^{2} = 45, 9 x^{2} + 6 y^{2} = 45 x .$

ПРИМЕР 3

Метод подстановки

Решите систему уравнений ${2 x^{2} - 5 x = y, 2 x - 5 = y .$

✓СОВЕТ

Стратегия на системах

Сначала выбери приём — не бросайся считать, глянь на структуру. Верный приём экономит половину работы.
Простое уравнение — для поиска $y .$ Подставляй найденный $x$ туда, где выкладок меньше.
Геометрический смысл: пары $(x; y)$ — это точки пересечения двух графиков (параболы и прямой). Сколько точек — столько пар.
Порог отметки: задание 20 — алгебра, но помни правило всего ОГЭ: чтобы получить отметку выше «2», нужно набрать не меньше 2 баллов за геометрию (задания 15-19 и 23-25). Одной алгеброй порог не закрыть.

Отработка

Закрепи приёмы на живых задачах банка:

Подборка ровно по этой теме: /math/oge-math/collections/topic-sistemy-uravneniy-20-oge
Все задачи задания 20: /math/oge-math/problems/types/oge-math-type-20