Системы неравенств (Задание 13)
В конспекте типа мы разобрали все три сюжета задания 13. Здесь идём вглубь одного — систем неравенств. Это те задачи, где условие записано в фигурной скобке:
{первое неравенство,второе неравенство.Фигурная скобка читается как союз «и»: подходящие x должны удовлетворять обоим неравенствам сразу. Поэтому решение системы — это не «всё вместе», а только общая часть решений: то, что попадает и в первый промежуток, и во второй одновременно.
На ОГЭ почти всегда обе строчки системы — простые линейные неравенства (реши каждое в одно-два действия). Вся хитрость не в решении строчек, а в том, как правильно пересечь два готовых промежутка и не перепутать пересечение с объединением. Разберёмся с этим до автоматизма.
Пересечение двух промежутков
Когда каждое неравенство решено, у тебя на руках два луча (или отрезок и луч). Ответ системы — там, где они накладываются друг на друга. Удобнее всего рисовать оба на одной числовой прямой двумя ярусами штриховки и смотреть, где штриховки перекрылись.
Встречаются ровно три расклада, и полезно узнавать их «в лицо»:
iЗАМЕЧАНИЕ
Три расклада пересечения
- Лучи в одну сторону (оба x⩽… или оба x⩾…) — побеждает более сильное ограничение, то есть более узкий луч. Ответ снова луч.
- Лучи навстречу (один x⩾a, другой x⩽b, причём a⩽b) — пересечение это отрезок [a;b] посередине.
- Лучи навстречу, но не встретились (a>b) — общей части нет, у системы нет решений (∅).
✓Быстрый приём для сонаправленных
Если оба неравенства смотрят в одну сторону, не рисуй ничего — просто выбери более жёсткое условие. Для двух «x⩽» это меньшее число, для двух «x⩾» — большее. Пример: из x⩽−3,2 и x⩽−2 остаётся x⩽−3,2, потому что оно само по себе гарантирует и x⩽−2.
Строгость границ
Тип точки на картинке решает, какой из четырёх вариантов твой. Границу определяет знак того неравенства, которое эту границу задало:
ВАЖНОЕ
Точка на границе
Строгий знак (<, >) — точка выколота (пустой кружок), сама граница в ответ не входит.
Нестрогий знак (⩽, ⩾) — точка закрашена (заполненный кружок), граница входит.
В системе левый и правый концы отрезка могут иметь разную строгость — каждый наследует знак своего неравенства. Проверяй оба конца по отдельности.
Алгоритм решения
АЛГОРИТМ
Как решать систему неравенств
1. Реши первое неравенство отдельно, доведи до вида x<c, x>c, x⩽c или x⩾c.
2. Реши второе неравенство так же. Не забудь: делишь на отрицательное — знак переворачивается.
3. Определи расклад: лучи в одну сторону, навстречу или навстречу-но-мимо.
4. Возьми пересечение — общую часть. Для сонаправленных бери более жёсткое условие; для встречных — отрезок между границами; если не пересеклись — ∅.
5. Сверь направление и тип точек (выколота/закрашена) с картинками и запиши номер нужного варианта.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Пересечение, а не объединение
Главная ловушка: в системе берут общую часть, а не «обе вместе». Не тяни в ответ куски, которые лежат только в одном из промежутков. И держи в голове вариант ∅ — среди четырёх ответов иногда прячется «нет решений», и это правильный ответ, если лучи разошлись.
!ЧАСТАЯ ОШИБКА
Формат ответа
В бланк идёт номер картинки или строки (1, 2, 3 или 4), а не сам промежуток. Быстрая самопроверка: возьми любое число из своего ответа и подставь в обе строки системы — должны выполниться оба неравенства сразу. Если хоть одно нарушилось, промежуток выбран неверно.
Разбор примеров
ПРИМЕР 1
Сонаправленные лучи
Укажите решение системы неравенств
{x+3,2⩽0,x+1⩽−1.
ПРИМЕР 2
Лучи навстречу — отрезок
Укажите решение системы неравенств
{x−2,6⩽0,x−1⩾1.
ПРИМЕР 3
Переворот знака и интервал
Укажите решение системы неравенств
{−35+5x<0,6−3x<−3.
Отработка
Прорешай задания этого типа целиком в банке: задачи типа 13.
Отдельная подборка ровно по системам неравенств — коллекция topic-sistemy-neravenstv-13-oge.