Задание 13: Неравенства, системы неравенств — ОГЭ

Неравенства, системы неравенств (Задание 13)

В задании 13 тебе дают неравенство (или систему из двух неравенств) и четыре готовых ответа: либо промежутки, либо картинки с числовой прямой. Твоя задача — решить неравенство самому и выбрать ту строку, где нарисовано или записано твоё множество решений. Записываешь в бланк не сам промежуток, а номер подходящего варианта (1, 2, 3 или 4).

Звучит хитро, но на деле это одно из самых механических заданий первой части. Здесь встречаются ровно три сюжета, и каждый решается по своему короткому алгоритму:

Линейные неравенства — oge-math-topic-lineynye-neravenstva-13: раскрыл скобки, собрал $x$ в одну сторону, поделил.
Квадратные неравенства — oge-math-topic-kvadratnye-neravenstva-13: нашёл нули, нарисовал параболу, снял знаки.
Системы неравенств — oge-math-topic-sistemy-neravenstv-13: решил каждое отдельно, взял пересечение.

Разберём каждый по очереди, а в конце — самые частые ловушки на выборе картинки.

Четыре типа промежутков на числовой прямой

Линейные неравенства

Линейное неравенство — это неравенство вида $a x + b > 0$ (или со знаками $<,$ $⩽,$ $⩾$ ). Решается оно почти как обычное линейное уравнение: переносишь слагаемые с $x$ в одну сторону, числа — в другую, и делишь на коэффициент при $x .$

ВАЖНОЕ

Главное правило знака

Когда делишь или умножаешь обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства переворачивается:

- 3 x < 12 ⟺ x > - 4.

Если делишь на положительное — знак остаётся прежним.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Самая частая ошибка первой части

Забыть перевернуть знак при делении на отрицательное. Чтобы не попадаться, есть приём: собирай $x$ в ту сторону, где коэффициент при нём получится положительным — тогда переворачивать вообще не придётся. Именно так решён линейный пример 1 ниже (а в примере 3 нарочно показан и случай с переворотом знака).

Квадратные неравенства

Квадратное неравенство — вида $a x^{2} + b x + c > 0 .$ Алгоритм всегда один: находим нули левой части (корни квадратного трёхчлена), отмечаем их на прямой и смотрим, где парабола выше или ниже оси.

ВАЖНОЕ

Разность квадратов

Если свободный член — точный квадрат, а слагаемого с первой степенью нет, раскладывай по формуле сокращённого умножения:

x^{2} - a^{2} = (x - a) (x + a) .

Эта формула сокращённого умножения есть в справочных материалах КИМ — лист с ней лежит в каждом варианте на экзамене, наизусть держать не обязательно, но пользоваться ей надо уметь свободно.

ВАЖНОЕ

Корни квадратного уравнения

Если корни «не угадываются», ищи их через дискриминант:

D = b^{2} - 4 a c, x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} .

И дискриминант, и формула корней тоже есть в справочных материалах КИМ — на экзамене они всегда под рукой.

iЗАМЕЧАНИЕ

Метод интервалов на пальцах

У параболы с ветвями вверх ( $a > 0$ ) знаки на промежутках чередуются так: плюс — минус — плюс. Значит, выражение положительно вне корней и отрицательно между ними. Если ветви вниз ( $a < 0$ ) — наоборот. Проще всего мысленно нарисовать параболу и посмотреть, какие куски лежат выше оси (это $> 0$ ), а какие ниже ( $< 0$ ).

Метод интервалов для параболы с ветвями вверх

Системы неравенств

Фигурная скобка означает слово «и»: искомые $x$ должны удовлетворять обоим неравенствам одновременно.

АЛГОРИТМ

Как решать систему

1. Реши первое неравенство отдельно — получишь один промежуток.
2. Реши второе неравенство отдельно — получишь второй промежуток.
3. Нарисуй оба на одной числовой прямой (штриховка сверху и снизу).
4. Ответ — пересечение: там, где штриховки наложились друг на друга.

!ЧАСТАЯ ОШИБКА

Пересечение, а не объединение

В системе берут общую часть промежутков (пересечение), а не всё вместе. Если промежутки вообще не пересекаются — у системы нет решений ( $\emptyset$ ), и такой вариант ответа тоже иногда предлагают.

Как выбрать правильную картинку

АЛГОРИТМ

Алгоритм задания 13

1. Реши неравенство или систему до промежутка вида $x < c,$ $x > c$ или $a < x < b .$
2. Определи направление: луч влево, луч вправо или отрезок посередине.
3. Проверь строгость: строгий знак ( $<,$ $>$ ) — точка выколотая (пустой кружок); нестрогий ( $⩽,$ $⩾$ ) — точка закрашенная.
4. Найди среди четырёх картинок ту, где и направление, и тип точек совпали с твоим ответом. Запиши её номер.

✓СОВЕТ

Быстрая самопроверка

Подставь одно удобное число из своего промежутка (проще всего 0, если он туда попадает) прямо в исходное неравенство. Если получилось верное числовое неравенство — промежуток выбран правильно. Так ты за 10 секунд отсекаешь неверные варианты.

Разбор примеров

ПРИМЕР 1

Линейное неравенство

Укажите решение неравенства

$- 9 - 6 x > 9 x + 9 .$

ПРИМЕР 2

Квадратное неравенство

Укажите решение неравенства

$x^{2} - 25 > 0 .$

ПРИМЕР 3

Система неравенств

Укажите решение системы неравенств

${- 5 + 5 x < 0, 4 - 3 x < 31.$

Отработка

Прорешай задания этого типа в банке: задачи типа 13.

Тематические подборки по под-темам:

Линейные неравенства — коллекция topic-lineynye-neravenstva-13-oge
Квадратные неравенства — коллекция topic-kvadratnye-neravenstva-13-oge
Системы неравенств — коллекция topic-sistemy-neravenstv-13-oge